- \n
- \\(h_{i,k} = (v_i, Av_k)\\) \u3068\u3059\u308b \\((i = 1, \\dots, k)\\) (\u30d9\u30af\u30c8\u30eb \\(v_i\\) \u3068 \\(\\tilde{v}_{k+1}\\) \u306e\u5185\u7a4d\u304c 0 \u306b\u306a\u308b (\u76f4\u4ea4\u3059\u308b) \u3088\u3046\u306b\u3059\u308b\u305f\u3081)<\/li>\n
- \\(\\tilde{v}_{k+1} = Av_k – \\sum_{j=1}^k h_{j,k}v_j\\)<\/li>\n
- \\(v_{k+1} = \\tilde{v}_{k+1} \/ h_{k+1,k}\\) \u3068\u6b63\u898f\u5316\u3059\u308b. \u305f\u3060\u3057, \\(h_{k+1,k} = \\|\\tilde{v}_{k+1}\\|\\) \u3068\u3059\u308b<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n
\u4ee5\u4e0a\u3088\u308a, \\(Av_i = \\sum_{j=1}^{i+1} h_{j,i}v_j\\) \u3068\u306a\u308b\u306e\u3067, \\(i = 1, \\dots, k\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u884c\u5217\u306b\u307e\u3068\u3081\u3066\u8868\u3059\u3068\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\nAV_k & = V_k H_k + h_{k+1,k}v_{k+1}e_k^T \\\\
\n& = V_{k+1}\\tilde{H}_k \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u3053\u3053\u3067, \\(e_k = (0, 0, \\dots, 0, 1)^T\\) \u3067\u3042\u308b.<\/p>\nk x k \u884c\u5217 \\(H_k\\) \u306f\u4e0a\u30d8\u30c3\u30bb\u30f3\u30d9\u30eb\u30b0\u5f62 (i ≥ j + 1 \u306e\u3068\u304d (i ,j)\u8981\u7d20\u304c 0 \u306b\u306a\u308b\u884c\u5217) \u3067\u3042\u308b.
\n\\[
\nH_k =
\n\\begin{pmatrix}
\nh_{1,1} & h_{1,2} & \\cdots & h_{1,k-1} & h_{1,k} \\\\
\nh_{2,1} & h_{2,2} & \\cdots & h_{2,k-1} & h_{2,k} \\\\
\n0 & h_{3,3} & \\cdots & \\cdot & \\cdot \\\\
\n0 & 0 & \\cdots & \\cdot & \\cdot \\\\
\n & & \\ddots \\\\
\n0 & 0 & \\cdots & h_{k,k-1} & h_{k,k} \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\u884c\u5217 \\(\\tilde{H}_k\\) \u306f \\(H_k\\) \u306b 1 \u884c\u52a0\u3048\u305f (k+1) x k \u884c\u5217\u3067\u3042\u308b.
\n\\[
\n\\tilde{H}_k =
\n\\begin{pmatrix}
\nh_{1,1} & h_{1,2} & \\cdots & h_{1,k-1} & h_{1,k} \\\\
\nh_{2,1} & h_{2,2} & \\cdots & h_{2,k-1} & h_{2,k} \\\\
\n0 & h_{3,3} & \\cdots & \\cdot & \\cdot \\\\
\n0 & 0 & \\cdots & \\cdot & \\cdot \\\\
\n & & \\ddots \\\\
\n0 & 0 & \\cdots & h_{k,k-1} & h_{k,k} \\\\
\n0 & 0 & \\cdots & 0 & h_{k+1,k} \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\u306a\u304a, \u884c\u5217 \\(H_k\\) \u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u8868\u3059\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b (\u4e0a\u306e \\(AV_k = \\cdots\\) \u306e\u5f0f\u306e\u5de6\u304b\u3089 \\(V_k^T\\) \u3092\u639b\u3051\u308b).
\n\\[
\nH_k = V_k^TAV_k
\n\\]\n5.3.2 \u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b<\/h3>\n
\u884c\u5217 A \u304c\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u5834\u5408, \u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u306b\u304a\u3044\u3066 \\(h_{i,j} = (v_i, Av_j) = (Av_i, v_j) = 0 \\space (i \\ge j – 2)\\) \u3068\u306a\u308a, \\(H_k\\) \u306f\u4e09\u91cd\u5bfe\u89d2\u884c\u5217\u306b\u306a\u308b.
\n\u3053\u306e\u5834\u5408, \\(V_k\\) \u3092 3 \u9805\u6f38\u5316\u5f0f\u304b\u3089\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b.
\n\\[
\nv_{k+1} = (Av_k – h_{k-1,k}v_{k-1} – h_{k,k}v_k) \/ h_{k+1,k} \\space (k = 1, 2, \\dots )
\n\\]\n\u305f\u3060\u3057, \\(h_{k+1,k} = \\|Av_k – h_{k-1,k}v_{k-1} – h_{k,k}v_k\\|\\).<\/p>\n\u3053\u306e\u5834\u5408\u3092\u7279\u306b \\(T_k = H_k, \\alpha_k = h_{k,k}, \\beta_k = h_{k-1,k} = h_{k,k-1}\\) \u3068\u66f8\u304f\u3053\u3068\u306b\u3059\u308b\u3068\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b.
\n\\[
\nT_k =
\n\\begin{pmatrix}
\n\\alpha_1 & \\beta_2 \\\\
\n\\beta_2 & \\alpha_2 & \\beta_3 & & & 0 \\\\
\n & \\beta_3 & \\alpha_3 & \\beta_4 \\\\
\n & & & \\ddots \\\\
\n0 & & & \\beta_{k-1} & \\alpha_{k-1} & \\beta_k \\\\
\n & & & & \\beta_k & \\alpha_k \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\\(T_k\\) \u306b 1 \u884c\u52a0\u3048\u305f (k+1) x k \u884c\u5217 \\(\\tilde{T}_k\\) \u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b.
\n\\[
\n\\tilde{T}_k =
\n\\begin{pmatrix}
\n\\alpha_1 & \\beta_2 \\\\
\n\\beta_2 & \\alpha_2 & \\beta_3 & & & 0 \\\\
\n & \\beta_3 & \\alpha_3 & \\beta_4 \\\\
\n & & & \\ddots \\\\
\n & & & \\beta_{k-1} & \\alpha_{k-1} & \\beta_k \\\\
\n0 & & & & \\beta_k & \\alpha_k \\\\
\n & & & & & \\beta_{k+1} \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e 3 \u9805\u6f38\u5316\u5f0f\u3092\u7528\u3044\u3066 \\(V_k\\) \u3092\u6c42\u3081\u308b\u4ee5\u4e0b\u306e\u624b\u9806\u3092\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u3068\u3088\u3076.<\/p>\n- \n
- \\(\\beta_1 = \\|u\\|, v_0 = 0, v_1 = u \/ \\beta_1\\) \u3068\u3057, \u4ee5\u4e0b\u3092 \\(k = 1, 2, \\dots\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u7e70\u308a\u8fd4\u3059\n
- \n
- \\(\\alpha_k = (v_k, Av_k)\\) \u3068\u3059\u308b<\/li>\n
- \\(v_{k+1} = Av_k – \\alpha_kv_k – \\beta_kv_{k-1}\\)<\/li>\n
- \\(\\beta_{k+1} = \\|v_{k+1}\\|\\) \u3068\u3057\u3066, \\(v_k+1 \\gets v_{k+1}\/\\beta_{k+1}\\) \u3068\u6b63\u898f\u5316\u3059\u308b<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n
5.3.3 \u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u306b\u3088\u308b\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u89e3\u6cd5<\/h3>\n
\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f \\(Ax = b\\) \u306b\u304a\u3044\u3066\u6b8b\u5dee\u3092 \\(r = b – Ax\\) \u3068\u8868\u3059. \u521d\u671f\u8fd1\u4f3c\u89e3\u3092 \\(x_0\\) \u3068\u3059\u308b\u3068\u304d, \u521d\u671f\u6b8b\u5dee\u306f \\(r_0 = b – Ax_0\\) \u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
\u7b2c k \u30b9\u30c6\u30c3\u30d7\u3067\u306e\u8fd1\u4f3c\u89e3 \\(x_k\\) \u3092, \u305d\u308c\u3068\u521d\u671f\u8fd1\u4f3c\u89e3 \\(x_0\\) \u306e\u5dee\u304c\u4fc2\u6570\u884c\u5217 \\(A\\) \u3068\u521d\u671f\u6b8b\u5dee \\(r_0\\) \u304b\u3089\u5f62\u6210\u3055\u308c\u305f\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593 \\(K_k(A; r_0)\\) \u306b\u5c5e\u3059\u308b\u3088\u3046\u306b\u9078\u3076.
\n\\[
\nx_k – x_0 \\in K_k(A; r_0)
\n\\]\n\u3053\u306e\u3068\u304d, \\(x_k\\) \u306e\u6b8b\u5dee \\(r_k\\) \u306f \\(K_{k+1}(A; r_0)\\) \u306b\u5c5e\u3059\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\nr_k & = b – Ax_k \\\\
\n& = b – Ax_0 – A(x_k – x_0) \\\\
\n& = r_0 – A(x_k – x_0) \\in K_k+1(A; r_0) \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u3067\u306f, \u307e\u305a\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593 \\(K_k(A; r_0)\\) \u306e\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u3092\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u307e\u305f\u306f\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308a\u6c42\u3081, \u6b21\u306b \\(x_k\\) \u307e\u305f\u306f \\(r_k\\) \u306b\u4e00\u5b9a\u306e\u6761\u4ef6\u3092\u3064\u3051\u308b\u3053\u3068\u306b\u3088\u308a\u8fd1\u4f3c\u89e3\u3092\u5b9a\u3081\u308b.<\/p>\n\u8fd1\u4f3c\u89e3\u3092\u6c42\u3081\u308b\u305f\u3081\u306b \\(x_k\\) \u307e\u305f\u306f \\(r_k\\) \u306b\u3064\u3051\u308b\u6761\u4ef6\u306b\u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u3044\u304f\u3064\u304b\u306e\u65b9\u6cd5\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n
\n\n\n
\n \u65b9\u6cd5<\/th>\n \u6761\u4ef6<\/th>\n<\/tr>\n \n \u30ea\u30c3\u30c4\u30fb\u30ac\u30ec\u30eb\u30ad\u30f3\u6761\u4ef6<\/td>\n \u6b8b\u5dee \\(r_k = b – Ax_k\\) \u304c\u90e8\u5206\u7a7a\u9593 \\(K_k(A; r_0)\\) \u3068\u76f4\u4ea4: \\(r_k \\perp K_k(A; r_0)\\)<\/td>\n<\/tr>\n \n \u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6761\u4ef6<\/td>\n \u6b8b\u5dee \\(r_k = b – Ax_k\\) \u306e\u30ce\u30eb\u30e0 \\(\\|r_k\\|_2\\) \u304c\u90e8\u5206\u7a7a\u9593 \\(K_k(A; r_0)\\) \u306b\u304a\u3044\u3066\u6700\u5c0f<\/td>\n<\/tr>\n \n \u30da\u30c8\u30ed\u30d5\u30fb\u30ac\u30ec\u30eb\u30ad\u30f3\u6761\u4ef6<\/td>\n \u6b8b\u5dee \\(r_k = b – Ax_k\\) \u304c\u4ed6\u306e k \u6b21\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u3068\u76f4\u4ea4<\/td>\n<\/tr>\n \n \u6700\u5c0f\u8aa4\u5dee\u6761\u4ef6<\/td>\n \u8aa4\u5dee\u306e\u30ce\u30eb\u30e0 \\(\\|x_k – x\\|_2\\) \u304c\u90e8\u5206\u7a7a\u9593 \\(A^T K_k(A^T; r_0)\\) \u306b\u304a\u3044\u3066\u6700\u5c0f<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n 5.3.4 \u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5<\/h3>\n
\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u306b\u304a\u3044\u3066 \\(x_k – x_0\\) \u306f \\(K_k(A; r_0)\\) \u306b\u5c5e\u3059\u308b\u304b\u3089\u6b63\u898f\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95 \\(v_1, v_2, \\dots, v_k\\) \u306e\u7dda\u5f62\u7d50\u5408\u3067\u8868\u3059\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d, \u8fd1\u4f3c\u89e3 \\(x_k\\) \u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u8868\u3055\u308c\u308b. \u305f\u3060\u3057, \\(y_k\\) \u306f k-\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u3067\u3042\u308b.
\n\\[
\nx_k = x_0 + V_ky_k
\n\\]\nA \u304c\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u3068\u304d\u306f\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308a \\(V_{k+1}\\) \u3068 \\(\\tilde{T}_k\\) \u3092\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d \\(x_k\\) \u306e\u6b8b\u5dee \\(r_k\\) \u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u8868\u3055\u308c\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\nr_k & = b – Ax_k \\\\
\n& = r_0 – A(x_k – x_0) \\\\
\n& = V_k+1(\\beta_1 e_1 – \\tilde{T}_ky_k) \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u305f\u3060\u3057, \\(e_1 = (1, 0, \\dots, 0)^T\\) \u3067\u3042\u308b.<\/p>\n\u3053\u308c\u3088\u308a, \\(\\beta_1 e_1 – \\tilde{T}_ky_k\\) \u304c\u3067\u304d\u308b\u3060\u3051\u5c0f\u3055\u304f\u306a\u308b\u3088\u3046\u306b \\(y_k\\) \u3092\u9078\u3079\u3070\u3088\u3044\u304c, \\(y_k\\) \u3092\u4e00\u610f\u306b\u5b9a\u3081\u308b\u305f\u3081\u306b\u306f\u3082\u3046\u3072\u3068\u3064\u6761\u4ef6\u304c\u5fc5\u8981\u3067\u305d\u306e\u5b9a\u3081\u65b9\u306b\u306f\u3044\u304f\u3064\u304b\u306e\u65b9\u6cd5\u304c\u3042\u3063\u305f. \u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u5834\u5408\u306e\u4e3b\u306a\u89e3\u6cd5\u3068\u9069\u7528\u3055\u308c\u308b\u6761\u4ef6\u306f\u6b21\u306e\u3068\u304a\u308a\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
\n\n\n
\n \u89e3\u6cd5<\/th>\n \u6761\u4ef6<\/th>\n \\(y_k\\) \u306e\u9078\u3073\u65b9<\/th>\n \u5099\u8003<\/th>\n<\/tr>\n \n \u5171\u5f79\u52fe\u914d\u6cd5 (CG \u6cd5)<\/td>\n \u30ea\u30c3\u30c4\u30fb\u30ac\u30ec\u30eb\u30ad\u30f3\u6761\u4ef6<\/td>\n \\(T_ky_k = \\beta_1e_1\\)<\/td>\n A \u306f\u6b63\u5b9a\u5024\u5bfe\u79f0\u884c\u5217<\/td>\n<\/tr>\n \n \u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6cd5 (MINRES \u6cd5)<\/td>\n \u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6761\u4ef6<\/td>\n \\(y_k = arg min \\| \\tilde{T}_ky_k – \\beta_1e_1 \\|\\)<\/td>\n A \u306f\u5bfe\u79f0\u884c\u5217 (\u6b63\u5b9a\u5024\u3067\u306a\u304f\u3066\u3082\u3088\u3044)
\u5171\u5f79\u6b8b\u5dee\u6cd5 (CR \u6cd5) \u306f\u7b49\u4fa1\u3060\u304c\u8a08\u7b97\u624b\u9806\u304c\u7570\u306a\u308b<\/td>\n<\/tr>\n\n \u5bfe\u79f0 LQ \u6cd5 (SYMMLQ \u6cd5)<\/td>\n \u6700\u5c0f\u8aa4\u5dee\u6761\u4ef6<\/td>\n \\(y_{k+1} = arg min \\|y_{k+1}\\|\\) \u305f\u3060\u3057 \\(\\tilde{T}_k^Ty_{k+1} = \\beta_1e_1\\)<\/td>\n A \u306f\u5bfe\u79f0\u884c\u5217 (\u6b63\u5b9a\u5024\u3067\u306a\u304f\u3066\u3082\u3088\u3044)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n \u504f\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u5dee\u5206\u6cd5\u3067\u89e3\u304f\u5834\u5408\u306a\u3069\u591a\u304f\u306e\u554f\u984c\u306b\u73fe\u308c\u308b\u4fc2\u6570\u884c\u5217\u306f\u5bfe\u79f0\u3067\u3057\u304b\u3082\u6b63\u5b9a\u5024\u306e\u5834\u5408\u304c\u591a\u3044\u306e\u3067, \u5171\u5f79\u52fe\u914d\u6cd5 (CG \u6cd5) \u304c\u3088\u304f\u4f7f\u308f\u308c\u308b. \u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6cd5 (MINRES \u6cd5) \u3068\u5171\u5f79\u6b8b\u5dee\u6cd5 (CR \u6cd5) \u306f, \u53ce\u675f\u306e\u901f\u3055\u306f CG \u6cd5\u3068\u307b\u307c\u540c\u3058\u3067, \u6b63\u5b9a\u5024\u3067\u306a\u304f\u3066\u3082\u4f7f\u3048\u308b\u304c, \u8a08\u7b97\u91cf\u306f\u3084\u3084\u591a\u304f\u306a\u308b. \u5bfe\u79f0 LQ \u6cd5 (SYMMLQ \u6cd5) \u306f, \u6b63\u5b9a\u5024\u3067\u306a\u304f\u3066\u3082\u4f7f\u3048\u308b\u304c, \u4ed6\u306e\u65b9\u6cd5\u306b\u6bd4\u3079\u3066\u53ce\u675f\u304c\u3084\u3084\u9045\u3044\u50be\u5411\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n
5.3.4.1 \u5171\u5f79\u52fe\u914d (CG) \u6cd5<\/h4>\n
(1) \u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u3068\u3057\u3066\u306e CG \u6cd5<\/h4>\n
\u30ea\u30c3\u30c4\u30fb\u30ac\u30ec\u30eb\u30ad\u30f3\u6761\u4ef6: \\(r_k \\perp K_k(A; r_0)\\) \u3088\u308a,
\n\\[
\n\\begin{align}
\n0 & = V_k^Tr_k \\\\
\n& = V_k^Tr_0 – V_k^TAV_ky_k \\\\
\n& = \\beta_1e_1 – T_ky_k \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u3053\u308c\u3088\u308a\u6b21\u306e\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u89e3\u3044\u3066 \\(y_k\\) \u3092\u5b9a\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b.
\n\\[
\nT_ky_k = \\beta_1e_1
\n\\]\n\u6c42\u3081\u305f \\(y_k\\) \u3092\u7528\u3044\u3066 \\(x_k\\) \u304a\u3088\u3073 \\(r_k\\) \u3092\u66f4\u65b0\u3059\u308b.<\/p>\n(2) CG \u6cd5\u306e\u5225\u306e\u89e3\u91c8<\/h4>\n
CG \u6cd5\u306f\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u306e\u4e00\u7a2e\u3068\u3057\u3066\u4e0a\u306e\u3088\u3046\u306b\u8fd1\u4f3c\u89e3\u3092\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u53cd\u5fa9\u5f0f\u3092\u5f97\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u304c, \u3053\u308c\u306b\u5bfe\u3057\u3066, \u4ee5\u4e0b\u306b\u8aac\u660e\u3059\u308b\u5225\u306e\u89e3\u91c8\u306b\u3088\u308b\u5c0e\u51fa\u304c\u3088\u304f\u77e5\u3089\u308c\u3066\u304a\u308a, \u5f97\u3089\u308c\u308b\u53cd\u5fa9\u5f0f\u306f\u7b49\u4fa1\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
\u4fc2\u6570\u304c\u6b63\u5b9a\u5024\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f Ax = b \u306b\u304a\u3044\u3066, \u6b21\u306e\u95a2\u6570 \\(\\phi(x)\\) \u306f x \u304c\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u89e3\u306e\u3068\u304d\u306b\u6700\u5c0f\u5024\u3092\u3068\u308b.
\n\\[
\n\\phi(x) = \\frac{1}{2}(x, Ax) – (x, b)
\n\\]\n\u5f93\u3063\u3066, \\(\\phi(x)\\) \u306e\u6700\u5c0f\u70b9\u3092\u6c42\u3081\u308c\u3070\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u89e3\u304c\u6c42\u3081\u3089\u308c\u308b\u3053\u3068\u306b\u306a\u308b.<\/p>\nCG \u6cd5\u3067\u306f, \\(p_k\\) \u3092\u65b9\u5411\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u3068\u3057\u3066, \u305d\u306e\u65b9\u5411\u4e0a\u306e \\(\\phi(x)\\) \u306e\u6700\u5c0f\u70b9\u3092\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u63a2\u7d22\u3057\u3066\u6c42\u3081\u308b.
\n\\[
\nx_{k+1} = x_k + \\alpha_k p_k
\n\\]\n\\(\\alpha_k\\) \u306f\u63a2\u7d22\u65b9\u5411 \\(p_k\\) \u4e0a\u3067\u306e\u4fee\u6b63\u91cf\u3067\u3042\u308a, \\(\\phi(x)\\) \u304c\u6700\u5c0f\u306b\u306a\u308b\u3088\u3046\u306b\u5b9a\u3081\u308b\u3068\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b.
\n\\[
\n\\alpha_k = \\frac{(r_k, r_k)}{(p_k, Ap_k)}
\n\\]\n\u3053\u306e\u3068\u304d\u6b8b\u5dee\u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308a, \u6f38\u5316\u5f0f\u3067\u8a08\u7b97\u3067\u304d\u308b.
\n\\[
\nr_{k+1} = r_k – \\alpha_kAp_k
\n\\]\n\u6b21\u306b, \u63a2\u7d22\u65b9\u5411\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u3092\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u5b9a\u3081\u308b. \u305f\u3060\u3057, \\(p_0 = r_0\\) \u3068\u3059\u308b.
\n\\[
\np_{k+1} = r_{k+1} + \\beta_k p_k
\n\\]\nCG \u6cd5\u3067\u306f \\(\\beta_k\\) \u3092 \\(p_{k+1}\\) \u3068 \\(Ap_k\\) \u304c\u76f4\u4ea4\u3059\u308b (\\(p_{k+1}\\) \u3068 \\(p_k\\) \u304c A \u306b\u95a2\u3057\u3066\u5171\u5f79\u306b\u306a\u308b) \u3088\u3046\u306b\u5b9a\u3081\u308b.
\n\\[
\n\\beta_k = -\\frac{(r_{k+1}, Ap_k)}{(p_k, Ap_k)}
\n\\]\n\u4ee5\u4e0a\u3092\u6574\u7406\u3059\u308b\u3068\u6b21\u306e\u8a08\u7b97\u624b\u9806\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b.<\/p>\n- \n
- \\(x_0\\) = \u521d\u671f\u63a8\u5b9a\u5024, \\(r_0 = b – Ax_0\\), \\(p_0 = r_0\\) \u3068\u3059\u308b<\/li>\n
- \u4ee5\u4e0b\u3092 \\(k = 0, 1, 2, \\cdots\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u7e70\u308a\u8fd4\u3059\n
- \n
- \\(\\alpha_k = \\frac{(r_k, r_k)}{(p_k, Ap_k)}\\)<\/li>\n
- \\(x_{k+1} = x_k + \\alpha_kp_k\\)<\/li>\n
- \\(r_{k+1} = r_k – \\alpha_kAp_k\\)<\/li>\n
- \\(\\|r_{k+1}\\|\/\\|b\\| \\le\\) \u53ce\u675f\u5224\u5b9a\u5024 \u3067\u3042\u308c\u3070\u7d42\u4e86\u3059\u308b<\/li>\n
- \\(\\beta_k = \\frac{(r_{k+1}, r_{k+1})}{(r_k, r_k)}\\)<\/li>\n
- \\(p_{k+1} = r_{k+1} + \\beta_k p_k\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n
\u3053\u3053\u3067, \\((p_k, r_k) = (r_k, r_k),\\space (p_k, Ap_k) = (r_k, Ap_k)\\) \u306a\u3069\u306e\u95a2\u4fc2\u304c\u3042\u308b\u306e\u3067<\/p>\n
- \n
- \\(\\alpha_k = \\frac{(p_k, r_k)}{(p_k, Ap_k)}\\)<\/li>\n
- \\(\\beta_k = -\\frac{(r_{k+1}, Ap_k)}{(p_k, Ap_k)}\\)<\/li>\n<\/ul>\n
\u3068\u3082\u66f8\u3051\u308b.<\/p>\n
\u306a\u304a, \\(p_k\\) \u304a\u3088\u3073 \\(r_k\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u6b21\u5f0f\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3061, \u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b.
\n\\[
\nspan(p_0, p_1, \\dots, p_k) = span(r_0, r_1, \\dots, r_k) = K_{k+1}(A; r_0)
\n\\]\n\u30d7\u30ed\u30b0\u30e9\u30e0\u306e\u5b9f\u88c5\u4e0a\u306f (1) \u3088\u308a\u3082\u3053\u3061\u3089\u306e\u624b\u9806\u3092\u4f7f\u3063\u3066\u3044\u308b\u3082\u306e\u304c\u591a\u3044\u3088\u3046\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
(3) CG \u6cd5\u306e\u53ce\u675f\u6027<\/h4>\n
CG \u6cd5\u306f\u53cd\u5fa9\u6cd5\u306b\u5206\u985e\u3055\u308c\u308b\u304c, \u6b8b\u5dee\u30d9\u30af\u30c8\u30eb \\(r_k\\) \u306e\u76f4\u4ea4\u6027\u304b\u3089 n \u56de\u306e\u53cd\u5fa9\u3067, \u8a08\u7b97\u8aa4\u5dee\u304c\u306a\u3051\u308c\u3070, \\(r_k = 0\\) \u306b\u306a\u308b (\u89e3\u304c\u6c42\u3081\u3089\u308c\u308b) \u3068\u3044\u3046\u76f4\u63a5\u6cd5\u7684\u306a\u6027\u8cea\u3082\u6301\u3064.<\/p>\n
CG \u6cd5\u306e\u53ce\u675f\u306b\u95a2\u3057\u3066\u306f, \u76ee\u7684\u95a2\u6570 \\(\\phi(x)\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u6b21\u306e\u5f0f\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064 (\u6587\u732e[3]).
\n\\[
\n\\phi(x_k) \\le \\phi(x_0) \\cdot 4(\\frac{\\sqrt{\\kappa} – 1}{\\sqrt{\\kappa} + 1})^{2k}
\n\\]\n\u3053\u3053\u3067, κ \u306f\u4fc2\u6570\u884c\u5217\u306e\u6761\u4ef6\u6570\u3067\u6700\u5927\u56fa\u6709\u5024\u3068\u6700\u5c0f\u56fa\u6709\u5024\u306e\u6bd4\u3067\u3042\u308b\\((\\kappa = \\lambda_{max} \/ \\lambda_{min})\\).<\/p>\n\u3059\u306a\u308f\u3061, \u4fc2\u6570\u884c\u5217\u306e\u6761\u4ef6\u6570\u304c\u5c0f\u3055\u3044 (\u56fa\u6709\u5024\u304c\u5bc6\u96c6\u3057\u3066\u3044\u308b) \u307b\u3069 CG \u6cd5\u306f\u901f\u304f\u53ce\u675f\u3059\u308b. n \u56de\u3088\u308a\u3082\u5c11\u306a\u3044\u56de\u6570\u3067\u53ce\u675f\u3059\u308b\u3053\u3068\u3082\u5c11\u306a\u304f\u306a\u3044.<\/p>\n
5.3.4.2 \u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6cd5 (MINRES \u6cd5)<\/h4>\n
(1) \u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u3068\u3057\u3066\u306e MINRES \u6cd5<\/h4>\n
CG \u6cd5\u306f\u4fc2\u6570\u884c\u5217\u304c\u6b63\u5b9a\u5024\u3067\u306a\u3044\u5834\u5408\u306b\u306f\u9069\u7528\u3067\u304d\u306a\u3044\u304c, \u305d\u306e\u5834\u5408\u3067\u3082\u4f7f\u3048\u308b\u65b9\u6cd5\u3068\u3057\u3066\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6cd5 (MINRES \u6cd5) \u304c\u958b\u767a\u3055\u308c\u305f.<\/p>\n
\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6761\u4ef6: \\(min \\|r_k\\|_2\\) \u3088\u308a, \u6700\u5c0f\u4e8c\u4e57\u554f\u984c
\n\\[
\ny_k = arg min \\|\\beta_1e_1 – \\tilde{T}_ky_k\\|_2
\n\\]\n\u3092\u89e3\u3044\u3066 \\(y_k\\) \u3092\u5b9a\u3081\u308b\u65b9\u6cd5\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n\u4e09\u91cd\u5bfe\u89d2\u884c\u5217 \\(\\tilde{T}_k\\) \u306f, \u4e0b\u526f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304c 0 \u306b\u306a\u308b\u3088\u3046\u306b (2 \u6b21\u5143\u306e) \u30cf\u30a6\u30b9\u30db\u30eb\u30c0\u30fc\u5909\u63db (\u93e1\u6620) \u3092\u5de6\u304b\u3089 k \u56de\u65bd\u3059\u3053\u3068\u306b\u3088\u308a, \u4e0a\u4e09\u89d2\u884c\u5217 (\u4e0a\u526f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304c 2 \u3064\u306e\u5e2f\u884c\u5217) \\(R_k\\) \u306b\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b. k \u56de\u306e\u5909\u63db\u3092\u307e\u3068\u3081\u3066 \\(Q_k\\) \u3068\u8868\u3059\u3068,
\n\\[
\nQ_k\\tilde{T}_k =
\n\\begin{pmatrix}
\nR_k \\\\
\n0 \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\u3068\u306a\u308b. \u307e\u305f,
\n\\[
\nQ_k\\beta_1e_1 =
\n\\begin{pmatrix}
\nf_k \\\\
\n\\phi_k \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\u3068\u8868\u3059\u3068,
\n\\[
\nR_ky_k = f_k
\n\\]\n\u3088\u308a \\(y_k\\) \u3092\u5b9a\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b.<\/p>\n\u6c42\u3081\u305f \\(y_k\\) \u3092\u7528\u3044\u3066 \\(x_k\\) \u304a\u3088\u3073 \\(r_k\\) \u3092\u66f4\u65b0\u3059\u308b.<\/p>\n
(2) \u5171\u5f79\u6b8b\u5dee (CR) \u6cd5<\/h4>\n
5.3.4.1 (2) \u306e CG \u6cd5\u306e\u624b\u9806\u3092, \u6b8b\u5dee\u4e8c\u4e57\u30ce\u30eb\u30e0 \\(\\|r\\|_2 = \\|b – Ax\\|_2\\) \u3092\u6700\u5c0f\u306b\u3059\u308b x \u3092\u6c42\u3081\u308b\u3088\u3046\u306b\u5909\u66f4\u3059\u308b.<\/p>\n
CG \u6cd5\u3067\u306f\u63a2\u7d22\u65b9\u5411\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u3092 \\(p_{k+1}\\) \u3068 \\(Ap_k\\) \u304c A \u306b\u95a2\u3057\u3066\u5171\u5f79\u306b\u306a\u308b\u3088\u3046\u306b\u5b9a\u3081\u305f. \u3053\u308c\u306b\u5bfe\u3057\u3066, \\(A^{T}A\\) \u5171\u5f79\u306b\u306a\u308b, \u3059\u306a\u308f\u3061, \\(Ap_{k+1}\\) \u3068 \\(Ap_k\\) \u304c\u76f4\u4ea4\u3059\u308b\u3088\u3046\u306b\u5b9a\u3081\u308b. \u3053\u308c\u306b\u3088\u308a, \u6b8b\u5dee\u4e8c\u4e57\u30ce\u30eb\u30e0\u304c\u52b9\u7387\u3088\u304f\u6e1b\u5c11\u3059\u308b\u53cd\u5fa9\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b.<\/p>\n
\u624b\u9806\u306e\u5909\u66f4\u70b9\u306f\u6b21\u306e\u3068\u304a\u308a\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
- \n
- \\(\\alpha_k = \\frac{(r_k, Ar_k)}{(Ap_k, Ap_k)}\\)<\/li>\n
- \\(\\beta_k = \\frac{(r_{k+1}, Ar_{k+1})}{(r_k, Ar_k)}\\)<\/li>\n<\/ul>\n
\u3053\u306e\u3088\u3046\u306b\u3057\u3066\u5f97\u3089\u308c\u308b\u53cd\u5fa9\u5f0f\u306f MINRES \u6cd5\u3068\u7b49\u4fa1\u3067\u3042\u308b\u304c, \u3053\u3061\u3089\u306f \u5171\u5f79\u6b8b\u5dee (CR) \u6cd5\u3068\u3088\u3070\u308c\u308b. \u6b63\u5b9a\u5024\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306b\u5bfe\u3057\u3066\u306f MINRES \u6cd5\u3068 CR \u6cd5\u306e\u7d50\u679c\u306f\u4e00\u81f4\u3059\u308b. \u4e0d\u5b9a\u5024\u884c\u5217\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f MINRES \u6cd5\u306e\u307b\u3046\u304c\u6709\u5229\u3068\u3055\u308c\u308b.<\/p>\n
5.3.4.3 \u5bfe\u79f0 LQ (SYMMLQ) \u6cd5<\/h4>\n
SYMMLQ \u6cd5\u3082\u4fc2\u6570\u884c\u5217\u304c\u6b63\u5b9a\u5024\u3067\u306a\u3044\u5834\u5408\u306b\u3082\u4f7f\u3048\u308b\u65b9\u6cd5\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
\u6700\u5c0f\u8aa4\u5dee\u6761\u4ef6: \\(min \\|x_k – x\\|_2\\) \u3088\u308a, \u6700\u5c0f\u30ce\u30eb\u30e0\u554f\u984c
\n\\[
\ny_{k+1} = arg min \\|y_{k+1}\\| \\space \u305f\u3060\u3057 \\space \\tilde{T}_k^Ty_{k+1} = \\beta_1e_1
\n\\]\n\u3092\u89e3\u3044\u3066 \\(y_{k+1}\\) \u3092\u5b9a\u3081\u308b\u65b9\u6cd5\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n\u4eca\u5ea6\u306f\u53f3\u304b\u3089 k \u56de\u306e\u5909\u63db\u3092\u65bd\u3059\u3053\u3068\u306b\u3088\u308a, \\(\\tilde{T}_k^T\\) \u3092\u4e0b\u4e09\u89d2\u884c\u5217 (\u4e0b\u526f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304c 2 \u3064\u306e\u5e2f\u884c\u5217) \\(L_k\\) \u306b\u5909\u63db\u3059\u308b.
\n\\[
\n\\tilde{T}_k^TQ_k =
\n\\begin{pmatrix}
\nL_k 0 \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\\(y_{k+1}\\) \u3092\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u7f6e\u304d\u63db\u3048\u308b.
\n\\[
\ny_{k+1} = Q_k\\tilde{z}_{k+1}
\n\\]\n\u305f\u3060\u3057,
\n\\[
\n\\tilde{z}_{k+1} =
\n\\begin{pmatrix}
\nz_k \\\\
\n0 \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\u305d\u3046\u3059\u308b\u3068, \u6b21\u5f0f\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064.
\n\\[
\n\\begin{align}
\n\\tilde{T}_k^Ty_{k+1} & = \\tilde{T}_k^T Q_k \\tilde{z}_{k+1} \\\\
\n& =
\n\\begin{pmatrix}
\nL_k 0 \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\tilde{z}_{k+1} \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u3053\u308c\u3088\u308a, \u6b21\u5f0f\u3092\u89e3\u3044\u3066 \\(z_k\\) \u3092\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b.
\n\\[
\nL_k z_k = \\beta_1 e_1
\n\\]\n\\(x_k\\) \u306f \\(V_{k+1}y_{k+1}\\) \u3088\u308a\u6c42\u3081\u3089\u308c\u308b.<\/p>\n5.3.4.4 \u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u306e\u6bd4\u8f03<\/h4>\n
5.2.4 \u306e\u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e 5 \u70b9\u5dee\u5206\u8fd1\u4f3c\u3092\u4f8b\u3068\u3057\u3066, CG \u6cd5, MINRES \u6cd5, CR \u6cd5, \u304a\u3088\u3073, SYMMLQ \u6cd5\u3092\u6bd4\u8f03\u3059\u308b.<\/p>\n
\u6570\u5024\u5b9f\u9a13 (3)<\/h4>\n
\u3053\u3053\u3067\u306f\u5206\u70b9\u3092\u591a\u304f\u3068\u308a, 31\u00d731 \u5206\u5272\u306e 900 \u5143\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f (\u975e\u30bc\u30ed\u8981\u7d20\u6570 = 4380) \u3068\u3057\u305f. \u6a2a\u8ef8\u306f\u53cd\u5fa9\u56de\u6570, \u7e26\u8ef8\u306f\u6b8b\u5dee\u30ce\u30eb\u30e0 (\u521d\u671f\u6b8b\u5dee\u30ce\u30eb\u30e0\u3067\u6b63\u898f\u5316\u3057\u305f\u3082\u306e) \u3067\u3042\u308b. \u53ce\u675f\u6761\u4ef6\u306f, \u6b8b\u5dee\u306e\u76f8\u5bfe\u8aa4\u5dee < \\(10^{-10}\\) \u3068\u3057\u305f. \u6bd4\u8f03\u306e\u305f\u3081\u306b SOR\u6cd5 (ω = 1.82 (\u6700\u9069\u5024)) \u306e\u7d50\u679c\u3082\u793a\u3057\u305f.\n\n
![\"\"](\"https:\/\/www.ktech.biz\/jp\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2026\/08\/5-2_3_exp3.png\")
<\/p>\nCG \u6cd5\u3068 MINRES \u6cd5\u306f\u305d\u308c\u305e\u308c 64 \u56de, 63 \u56de\u306e\u53cd\u5fa9\u3067\u53ce\u675f\u3057\u305f. CR \u6cd5\u306f MINRES \u6cd5\u3068\u5168\u304f\u540c\u3058\u7d50\u679c\u3067\u3042\u3063\u305f. \u56f3\u3067\u306f\u4e0a\u66f8\u304d\u3055\u308c\u3066 MINRES \u6cd5\u306e\u30d7\u30ed\u30c3\u30c8\u304c\u898b\u3048\u306a\u3044. SYMMLQ \u6cd5\u306f\u3084\u3084\u9045\u304f\u3066 70 \u56de\u304b\u304b\u3063\u305f. SOR \u6cd5\u306f 127 \u56de\u5fc5\u8981\u3068\u3057\u305f.<\/p>\n
\u6570\u5024\u5b9f\u9a13 (4)<\/h4>\n
CG \u6cd5\u306f A \u304c\u6b63\u5b9a\u5024\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u3068\u3044\u3046\u6761\u4ef6\u306e\u3082\u3068\u306b\u5c0e\u304b\u308c\u305f. \u3053\u308c\u306b\u5bfe\u3057\u3066 MINRES \u6cd5, CR \u6cd5, \u304a\u3088\u3073, SYMMLQ \u6cd5\u306f\u3053\u306e\u6761\u4ef6\u306a\u3057\u306b\u4f7f\u3048\u308b\u3053\u3068\u3092\u7279\u9577\u3068\u3059\u308b.<\/p>\n
\u305d\u3053\u3067, \u4fc2\u6570\u884c\u5217 A \u304c\u5bfe\u79f0\u3060\u304c\u4e0d\u5b9a\u5024\u306a\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u89e3\u3044\u3066\u6bd4\u8f03\u3059\u308b.<\/p>\n
\u3053\u306e\u4f8b\u3067\u306f 64 \u5143\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3068\u3057, \u4fc2\u6570\u884c\u5217\u306f\u8981\u7d20\u304c\u30e9\u30f3\u30c0\u30e0\u306a\u5024\u306e\u5e2f\u884c\u5217 (\u5e2f\u5e45\u4e0a\u4e0b\u305d\u308c\u305e\u308c 4) \u3068\u3057\u305f. \u305f\u3060\u3057, \u305d\u306e\u56fa\u6709\u5024\u306e\u7d76\u5bfe\u5024\u3092 0.01, 0.02, 0.03, …, 0.64 \u3068\u3057, \u305d\u306e\u3046\u3061\u30e9\u30f3\u30c0\u30e0\u306b 30% \u306e\u7b26\u53f7\u3092\u8ca0\u306b\u3057\u3066\u4e0d\u5b9a\u5024\u884c\u5217\u306b\u306a\u308b\u3088\u3046\u306b\u3057\u305f.<\/p>\n
\u6a2a\u8ef8\u306f\u53cd\u5fa9\u56de\u6570, \u7e26\u8ef8\u306f\u6b8b\u5dee\u30ce\u30eb\u30e0 (\u521d\u671f\u6b8b\u5dee\u30ce\u30eb\u30e0\u3067\u6b63\u898f\u5316\u3057\u305f\u3082\u306e) \u3067\u3042\u308b. \u53ce\u675f\u6761\u4ef6\u306f, \u6b8b\u5dee\u306e\u76f8\u5bfe\u8aa4\u5dee < \\(10^{-10}\\) \u3068\u3057\u305f.\n\n
![\"\"](\"https:\/\/www.ktech.biz\/jp\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2026\/08\/5-2_3_exp4.png\")
<\/p>\nCG \u6cd5\u3067\u306f\u6b63\u5b9a\u5024\u3067\u306a\u3044\u3053\u3068\u304c\u691c\u51fa\u3055\u308c\u3066\u3082, \u8b66\u544a\u3092\u51fa\u3057\u3066\u8a08\u7b97\u3092\u7d99\u7d9a\u3059\u308b\u3088\u3046\u306b\u3057\u305f. \u3053\u308c\u306f, \u3053\u306e\u4f8b\u306e\u3088\u3046\u306b\u6b63\u5b9a\u5024\u3067\u306a\u304f\u3066\u3082 CG \u6cd5\u306f\u5b9f\u969b\u306b\u306f\u53ce\u675f\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3042\u308b\u305f\u3081\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
\u56f3\u3067\u306f N (A \u306e\u884c\u304a\u3088\u3073\u5217\u6570) \u56de\u7e70\u308a\u8fd4\u3057\u305f\u3042\u305f\u308a\u304b\u3089\u3069\u306e\u89e3\u6cd5\u3082\u6025\u901f\u306b\u53ce\u675f\u3057\u3066\u3044\u308b\u3088\u3046\u306b\u898b\u3048\u308b. CG \u6cd5\u306f\u6b8b\u5dee\u304c\u5897\u6e1b\u3057\u4e0d\u5b89\u5b9a\u306a\u304c\u3089\u3082\u53ce\u675f\u3057\u305f. MINRES \u6cd5\u3068 CR \u6cd5\u306f\u6b8b\u5dee\u304c\u5358\u8abf\u6e1b\u5c11\u3057\u3066\u5b89\u5b9a\u306b\u53ce\u675f\u3057\u305f\u304c, \u7d42\u76e4\u3067 MINRES \u6cd5\u306e\u65b9\u304c\u3084\u3084\u65e9\u304f\u629c\u3051\u51fa\u3057\u3066\u3044\u308b. SYMMLQ \u6cd5\u306f MINRES \u6cd5\u304a\u3088\u3073 CR \u6cd5\u3088\u308a\u3084\u3084\u4e0d\u5b89\u5b9a\u306b\u898b\u3048\u308b.<\/p>\n
5.3.5 \u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5<\/h3>\n
\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u306f\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308b\u89e3\u6cd5\u3068\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308b\u89e3\u6cd5\u306e\uff12\u7a2e\u985e\u306b\u5927\u5225\u3055\u308c\u308b. <\/p>\n
\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u306e\u6b63\u898f\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u306f\u672c\u6765\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308a\u6c42\u3081\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b. \u3059\u306a\u308f\u3061, \u6f38\u5316\u5f0f (\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b) \u3092\u4f7f\u3046\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u305a, \u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u3092\u967d\u306b\u69cb\u6210\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b. \u3053\u308c\u306f, \u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u3092\u4fdd\u5b58\u3057\u3066\u304a\u304f\u305f\u3081\u30e1\u30e2\u30ea\u30fc\u91cf\u3068\u8a08\u7b97\u91cf\u304c\u53cd\u5fa9\u6bce\u306b\u5897\u3048\u3066\u3044\u304f\u3053\u3068\u3092\u610f\u5473\u3059\u308b. \u305d\u306e\u305f\u3081, \u5b9f\u88c5\u4e0a\u306f\u4e00\u5b9a\u56de\u6570\u3054\u3068\u306b\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u3059\u308b (\u521d\u671f\u5316\u3057\u76f4\u3059) \u304b, \u4fdd\u5b58\u3059\u308b\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u6570\u3092\u4e00\u5b9a\u6570\u306b\u5236\u9650\u3057\u3066\u53e4\u3044\u3082\u306e\u3092\u7834\u68c4\u3059\u308b (\u5207\u308a\u6368\u3066\u308b) \u304b\u3057\u3066\u30e1\u30e2\u30ea\u30fc\u91cf\u3068\u8a08\u7b97\u91cf\u304c\u969b\u9650\u306a\u304f\u5897\u5927\u3057\u306a\u3044\u3088\u3046\u306b\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b. \u3053\u308c\u306b\u5c5e\u3059\u308b\u4ee3\u8868\u7684\u306a\u89e3\u6cd5\u306b\u306f\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee (GMRES) \u6cd5\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n
\u3068\u3053\u308d\u3067, \u6b63\u898f\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u306e\u4ee3\u7528\u3068\u3057\u3066\u53cc\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u3092\u4f7f\u3046\u3053\u3068\u306b\u3059\u308c\u3070\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u3067\u3042\u3063\u3066\u3082\u77ed\u3044\u6f38\u5316\u5f0f (\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b) \u306b\u3088\u308a\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u3092\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b. \u3053\u308c\u3092\u4f7f\u7528\u3059\u308c\u3070\u30e1\u30e2\u30ea\u30fc\u91cf\u3068\u8a08\u7b97\u91cf\u304c\u53cd\u5fa9\u6bce\u306b\u5897\u3048\u308b\u3053\u3068\u306f\u306a\u304f\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308b\u89e3\u6cd5\u3088\u308a\u6709\u5229\u3067\u3042\u308b. \u305f\u3060\u3057\u53ce\u675f\u6027\u306b\u3064\u3044\u3066\u3088\u304f\u308f\u304b\u3063\u3066\u3044\u306a\u3044\u70b9\u3082\u3042\u308a\u6ce8\u610f\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b. \u53cc\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u3092\u4f7f\u3046\u89e3\u6cd5\u3067\u306f\u4fc2\u6570\u884c\u5217\u306e\u8ee2\u7f6e\u884c\u5217\u306b\u95a2\u3059\u308b\u4e57\u7b97\u3084\u524d\u51e6\u7406\u8a08\u7b97\u304c\u5fc5\u8981\u306b\u306a\u308b. \u305d\u306e\u305f\u3081, \u4fc2\u6570\u884c\u5217\u3092\u967d\u306b\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u306a\u3044\u5834\u5408\u306b\u306f\u9069\u7528\u3067\u304d\u306a\u3044. \u3053\u308c\u306b\u5c5e\u3059\u308b\u4ee3\u8868\u7684\u306a\u89e3\u6cd5\u306f\u53cc\u5171\u5f79\u52fe\u914d (BICG) \u6cd5\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308b\u89e3\u6cd5\u3067\u3042\u3063\u3066\u3082\u8ee2\u7f6e\u884c\u5217\u306b\u95a2\u3059\u308b\u8a08\u7b97\u304c\u4e0d\u8981\u306a\u3088\u3046\u306b\u6539\u5584\u3057\u305f\u89e3\u6cd5\u3082\u958b\u767a\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b. \u4ee3\u8868\u7684\u306a\u89e3\u6cd5\u3068\u3057\u3066\u306f\u5b89\u5b9a\u5316\u53cc\u5171\u5f79\u52fe\u914d (BICGSTAB) \u6cd5\u304c\u3042\u3052\u3089\u308c\u308b.<\/p>\n
\u3044\u305a\u308c\u306b\u305b\u3088\u591a\u304f\u306e\u89e3\u6cd5\u304c\u958b\u767a\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u304c\u6c7a\u5b9a\u7684\u306a\u3082\u306e\u306f\u306a\u304f\u554f\u984c\u306e\u7279\u6027\u306b\u5fdc\u3058\u3066\u9069\u5207\u306a\u3082\u306e\u3092\u9078\u629e\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n
\u4e3b\u8981\u306a\u89e3\u6cd5\u3092\u4e0b\u8868\u306b\u6574\u7406\u3059\u308b.<\/p>\n
\n\n
\n \u5206\u985e<\/th>\n \u89e3\u6cd5<\/th>\n \u57fa\u5e95<\/th>\n \u8fd1\u4f3c\u89e3\u306e\u6761\u4ef6<\/th>\n \u6d3e\u751f\u89e3\u6cd5<\/th>\n<\/tr>\n \n \u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308b\u89e3\u6cd5<\/td>\n \u5b8c\u5168\u76f4\u4ea4\u5316\u6cd5 (FOM)<\/td>\n \u6b63\u898f\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95<\/td>\n \u76f4\u4ea4\u6761\u4ef6 (\u30ea\u30c3\u30c4\u30fb\u30ac\u30ec\u30eb\u30ad\u30f3\u6761\u4ef6)<\/td>\n FOM(m) \u6cd5 (\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u578b)<\/td>\n<\/tr>\n \n DIOM(m) \u6cd5 (\u5207\u308a\u6368\u3066\u578b)<\/td>\n<\/tr>\n \n \u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee (GMRES) \u6cd5<\/td>\n \u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6761\u4ef6<\/td>\n GMRES(m) \u6cd5 (\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u578b)<\/td>\n<\/tr>\n \n DQGMRES(m) \u6cd5 (\u5207\u308a\u6368\u3066\u578b)<\/td>\n<\/tr>\n \n \u4e00\u822c\u5316\u5171\u5f79\u6b8b\u5dee (GCR) \u6cd5<\/td>\n AT<\/sup>A \u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95<\/td>\n \u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6761\u4ef6<\/td>\n GCR(m) \u6cd5 (\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u578b)<\/td>\n<\/tr>\n \n Orthomin(m) \u6cd5 (\u5207\u308a\u6368\u3066\u578b)<\/td>\n<\/tr>\n \n \u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308b\u89e3\u6cd5<\/td>\n \u53cc\u5171\u5f79\u52fe\u914d (BICG) \u6cd5<\/td>\n \u53cc\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95<\/td>\n \u53cc\u76f4\u4ea4\u6761\u4ef6 (\u30da\u30c8\u30ed\u30d5\u30fb\u30ac\u30ec\u30eb\u30ad\u30f3\u6761\u4ef6)<\/td>\n<\/tr>\n \n \u7a4d\u578b\u53cd\u5fa9\u89e3\u6cd5 (\u8ee2\u7f6e\u306b\u95a2\u3059\u308b\u8a08\u7b97\u4e0d\u8981)<\/td>\n \u4e8c\u4e57\u5171\u5f79\u52fe\u914d (CGS) \u6cd5<\/td>\n<\/tr>\n \n \u5b89\u5b9a\u5316\u53cc\u5171\u5f79\u52fe\u914d (BICGSTAB) \u6cd5<\/td>\n<\/tr>\n \n \u7a4d\u578b\u53cc\u5171\u5f79\u52fe\u914d (GPBICG) \u6cd5<\/td>\n<\/tr>\n \n BICGSTAB2 \u6cd5<\/td>\n<\/tr>\n \n \u7591\u4f3c\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee (QMR) \u6cd5<\/td>\n \u7591\u4f3c\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6761\u4ef6<\/td>\n TFQMR \u6cd5 (\u8ee2\u7f6e\u306b\u95a2\u3059\u308b\u8a08\u7b97\u4e0d\u8981)<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n 5.3.5.1 \u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308b\u89e3\u6cd5<\/h4>\n
5.3.5.1.1 \u5b8c\u5168\u76f4\u4ea4\u5316\u6cd5 (FOM (Full orthogonalization method))<\/h4>\n
\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u306b\u304a\u3044\u3066\u8fd1\u4f3c\u89e3 \\(x_k\\) \u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308a\u6c42\u3081\u305f\u6b63\u898f\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95 \\(V_k = (v_1, v_2, \\dots, v_k)\\) \u306e\u7dda\u5f62\u7d50\u5408\u3067\u8868\u3055\u308c\u305f.
\n\\[
\nx_k = x_0 + V_k y_k
\n\\]\n\u305f\u3060\u3057, \\(y_k\\) \u306f k-\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u3067\u3042\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\nr_k & = b – Ax_k \\\\
\n& = r_0 – AV_ky_k \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u3088\u308a\u6b21\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064.
\n\\[
\n\\begin{align}
\nV_k^Tr_k & = V_k^Tr_0 – V_k^TAV_ky_k \\\\
\n& = V_k^T(\\|r_0\\|v_1) – H_ky_k \\\\
\n& = \\|r_0\\|e_1 – H_ky_k \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u305f\u3060\u3057, \\(e_1 = (1, 0, \\dots, 0)^T\\) \u3067\u3042\u308b.<\/p>\n\u3053\u3053\u3067\u76f4\u4ea4\u6761\u4ef6: \\(r_k \\perp K_k(A; r_0)\\) \u3092\u9069\u7528\u3059\u308b\u3068, \\(V_k^Tr_k = 0\\) \u3068\u306a\u308b\u304b\u3089, \u6b21\u306e (k x k \u5bc6\u884c\u5217\u306e) \u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u89e3\u3044\u3066 \\(y_k\\) \u3092\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b.
\n\\[
\nH_ky_k = \\|r_0\\| e_1
\n\\]\n\\(H_k\\) \u306f\u4e0a\u30d8\u30c3\u30bb\u30f3\u30d9\u30eb\u30b0\u884c\u5217\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089\u30d4\u30dc\u30c3\u30c8\u306e\u9078\u629e\u3092\u884c\u308f\u306a\u3044\u3053\u3068\u306b\u3059\u308c\u3070 LU \u5206\u89e3\u3067\u5bb9\u6613\u306b\u89e3\u304f\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b. \u305f\u3060\u3057, \\(H_k\\) \u306e\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u306b 0 \u304c\u73fe\u308c\u308b\u3068\u30d6\u30ec\u30fc\u30af\u30c0\u30a6\u30f3 (\u8a08\u7b97\u304c\u7d99\u7d9a\u3067\u304d\u306a\u304f\u306a\u308b\u3053\u3068) \u304c\u767a\u751f\u3059\u308b.<\/p>\n\u3053\u306e\u3088\u3046\u306a\u89e3\u6cd5\u3092\u5b8c\u5168\u76f4\u4ea4\u5316\u6cd5 (FOM) \u3068\u3044\u3046.<\/p>\n
FOM \u3067\u306f\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u3092\u7528\u3044\u308b\u305f\u3081, \u30d8\u30c3\u30bb\u30f3\u30d9\u30eb\u30b0\u884c\u5217 \\(H_k\\) \u3068\u6b63\u898f\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95 \\(V_k = (v_1, v_2, \\dots, v_k)\\) \u3092\u683c\u7d0d\u3057\u3066\u304a\u304f\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b. \u53cd\u5fa9\u3054\u3068\u306b k \u304c\u5927\u304d\u304f\u306a\u3063\u3066\u3044\u304f\u304c\u30e1\u30e2\u30ea\u91cf\u3068\u8a08\u7b97\u91cf\u306e\u89b3\u70b9\u304b\u3089\u9650\u754c\u304c\u3042\u308b\u305f\u3081, \u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u3068\u547c\u3070\u308c\u308b\u624b\u6cd5\u304c\u7528\u3044\u3089\u308c\u308b. \u3059\u306a\u308f\u3061, k \u306e\u6700\u5927\u5024 m \u3092\u6c7a\u3081\u3066\u304a\u304d k = m \u306b\u306a\u3063\u305f\u3068\u3053\u308d\u3067\u305d\u306e\u3068\u304d\u306e\u8fd1\u4f3c\u89e3\u3092\u521d\u671f\u8fd1\u4f3c\u89e3\u306b\u8a2d\u5b9a\u3057\u76f4\u3057\u3066\u3084\u308a\u76f4\u3059 (\\(x_0 = x_m, k = 0\\) \u3068\u3059\u308b) \u3053\u3068\u306b\u3059\u308b. \u3053\u308c\u306f, \u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u4ed8\u304d FOM \u3068\u547c\u3070\u308c FOM(m) \u6cd5\u3068\u8868\u3059\u3053\u3068\u304c\u3042\u308b. m \u3092\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf\u3068\u3088\u3076.<\/p>\n
\u3082\u3046\u4e00\u3064\u306e\u65b9\u6cd5\u3068\u3057\u3066, \u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u3067 \\(v_{k+1}\\) \u3092\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u3068\u304d\u306b \\(\\sum_{j=1}^k\\) \u3068\u3059\u308b\u3068\u3053\u308d\u3092\u3042\u3089\u304b\u3058\u3081\u5024 m \u3092\u5b9a\u3081\u3066\u304a\u304d\u6700\u65b0\u306e m \u500b\u306e\u5024\u3060\u3051\u3092\u4f7f\u3046\u3088\u3046\u306b\u3059\u308b, \u3059\u306a\u308f\u3061 \\(\\sum_{j=k-m+1}^k\\) \u3068\u3059\u308b\u65b9\u6cd5\u304c\u8003\u3048\u3089\u308c\u308b (\u5207\u308a\u6368\u3066\u578b). \u3053\u308c\u306b\u3088\u308a\u5f97\u3089\u308c\u308b\u57fa\u5e95\u306f m \u500b\u306e\u9593\u3060\u3051\u3067\u76f4\u4ea4\u3059\u308b\u4e0d\u5b8c\u5168\u306a\u3082\u306e\u3067\u3042\u308b\u304c, \u69cb\u308f\u305a\u306b\u4f7f\u3063\u3066 FOM \u3068\u540c\u69d8\u306b\u8a08\u7b97\u3092\u884c\u3046\u65b9\u6cd5\u3092\u4e0d\u5b8c\u5168\u76f4\u4ea4\u5316\u6cd5 (DIOM (Direct incomplete orthogonalization method)) <\/strong>\u3068\u3044\u3046. \u3053\u306e\u65b9\u6cd5\u306b\u3088\u308b\u3068\u30d8\u30c3\u30bb\u30f3\u30d9\u30eb\u30b0\u884c\u5217\u3067\u3042\u3063\u305f \\(H_k\\) \u304c\u5e2f\u5e45 m + 1 \u306e\u5e2f\u884c\u5217\u306b\u306a\u308a, \u89e3\u306e\u66f4\u65b0\u306b\u306f \\(H_k\\) \u304a\u3088\u3073 \\(V_k\\) \u306e\u6700\u65b0\u306e m \u5217\u3060\u3051\u304c\u3042\u308c\u3070\u8a08\u7b97\u3067\u304d\u308b\u3088\u3046\u306b\u306a\u308a, \u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u304c\u4e0d\u8981\u306b\u306a\u308b\u30e1\u30ea\u30c3\u30c8\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n
5.3.5.1.2 \u4e00\u822c\u5316\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee (GMRES (Generalized minimum residual)) \u6cd5<\/h4>\n
FOM \u306e\u76f4\u4ea4\u6761\u4ef6\u306e\u4ee3\u308f\u308a\u306b\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6761\u4ef6: \\(min \\|r_k\\|\\) \u3092\u9069\u7528\u3059\u308b. \u3059\u306a\u308f\u3061, \u6700\u5c0f\u4e8c\u4e57\u554f\u984c
\n\\[
\ny_k = arg min y_k \\|(\\|r_0\\| e_1 – \\tilde{H_k}y_k)\\|
\n\\]\n\u3092\u89e3\u3044\u3066 \\(y_k\\) \u3092\u5b9a\u3081\u308b\u65b9\u6cd5\u3092\u4e00\u822c\u5316\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6cd5 (GMRES) \u3068\u3044\u3046 (\u3053\u3053\u3067\u306f \\(H_k\\) \u306b 1 \u884c\u52a0\u3048\u305f \\(\\tilde{H_k}\\) \u3092\u7528\u3044\u308b).<\/p>\n\u4e0a\u30d8\u30c3\u30bb\u30f3\u30d9\u30eb\u30b0\u884c\u5217 \\(\\tilde{H_k}\\) \u306f, \u4e0b\u526f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304c 0 \u306b\u306a\u308b\u3088\u3046\u306b\u30ae\u30d6\u30f3\u30b9\u5909\u63db\u3092\u5de6\u304b\u3089 k \u56de\u65bd\u3059\u3053\u3068\u306b\u3088\u308a, \u4e0a\u4e09\u89d2\u884c\u5217 \\(R_k\\) \u306b\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b. k \u56de\u306e\u5909\u63db\u3092\u307e\u3068\u3081\u3066 \\(Q_k\\) \u3068\u8868\u3059\u3068,
\n\\[
\nQ_k\\tilde{H_k} =
\n\\begin{pmatrix}
\nR_k \\\\
\n0 \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\u3068\u306a\u308b. \u307e\u305f,
\n\\[
\nQ_k \\|r_0\\| e_1 =
\n\\begin{pmatrix}
\nf_k \\\\
\n\\phi_k \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\u3068\u8868\u3059\u3068,
\n\\[
\nR_k y_k = f_k
\n\\]\n\u3088\u308a \\(y_k\\) \u3092\u5b9a\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b. \\(\\phi_k\\) \u306f\u6b8b\u5dee\u3068\u306a\u308b.<\/p>\nGMRES \u6cd5\u3082\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u3092\u7528\u3044\u308b\u305f\u3081 FOM \u3068\u540c\u69d8\u306b\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u304c\u5fc5\u8981\u3067, \u5b9f\u7528\u7684\u306a\u89e3\u6cd5\u306f\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u4ed8\u304d GMRES \u6cd5\u3068\u547c\u3070\u308c GMRES(m) \u6cd5\u3068\u8868\u3059\u3053\u3068\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n
GMRES \u6cd5\u306b\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217 M \u306b\u3088\u3063\u3066\u524d\u51e6\u7406\u3092\u884c\u3046\u3053\u3068\u3092\u8003\u3048\u308b. \u5358\u7d14\u306b\u3053\u308c\u3092\u884c\u3046\u3068 \\(M^{-1} V_k\\) \u3092\u4f55\u5ea6\u304b\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b. \u305d\u3053\u3067, \u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u306e\u4e2d\u3067\u8a08\u7b97\u3057\u305f \\(M^{-1} V_k\\) \u3092\u4fdd\u5b58\u3057\u3066\u304a\u304d\u8a08\u7b97\u91cf\u3092\u6e1b\u3089\u3059\u65b9\u6cd5\u304c\u8003\u3048\u3089\u308c\u305f. \u3053\u308c\u3092 Flexible GMRES (FGMRES) \u6cd5<\/strong>\u3068\u3044\u3046. FGMRES \u6cd5\u306f GMRES \u6cd5\u3068\u540c\u3058\u7d50\u679c\u3092\u4e0e\u3048, \u8a08\u7b97\u91cf\u304c\u6e1b\u308b\u4ee3\u308f\u308a\u306b\u5fc5\u8981\u30e1\u30e2\u30ea\u30fc\u91cf\u304c\u5897\u3048\u308b.<\/p>\n
FOM \u306b\u5bfe\u3059\u308b DIOM \u3068\u540c\u69d8\u306b, GMRES \u6cd5\u306b\u5bfe\u3057\u3066\u6700\u65b0\u306e m \u500b\u306e\u5024\u3060\u3051\u3092\u4f7f\u3046\u3088\u3046\u306b\u3059\u308b\u65b9\u6cd5 (\u5207\u308a\u6368\u3066\u578b) \u3092 Direct quasi-minimum residual (DQGMRES) \u6cd5<\/strong>\u3068\u547c\u3073, \u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u304c\u4e0d\u8981\u306b\u306a\u308b\u30e1\u30ea\u30c3\u30c8\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n
5.3.5.1.3 \u4e00\u822c\u5316\u5171\u5f79\u6b8b\u5dee (CGR (Generalized conjugate residual)) \u6cd5<\/h4>\n
GMRES \u6cd5\u3068\u540c\u69d8\u306b\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u306b\u304a\u3044\u3066\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6761\u4ef6\u3092\u9069\u7528\u3059\u308b. \u305f\u3060\u3057, GMRES \u6cd5\u3067\u306f\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308a\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u3092\u751f\u6210\u3057\u305f\u304c, GCR \u6cd5\u3067\u306f \\(W = A^TA\\) \u306b\u95a2\u3059\u308b\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u3092\u7528\u3044\u308b. \u3059\u306a\u308f\u3061, \u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u3067\u30e6\u30fc\u30af\u30ea\u30c3\u30c9\u30ce\u30eb\u30e0 \\(\\|x\\|\\) \u306e\u4ee3\u308f\u308a\u306b \\(\\|x\\|_W = \\|x\\|_{A^TA} = (x, x)_{A^TA} = (Ax, Ax)\\) \u3092\u7528\u3044\u308b (GMRES \u6cd5\u306f \\(W = I\\) \u306e\u5834\u5408\u306b\u3042\u305f\u308b\u3068\u89e3\u91c8\u3067\u304d\u308b).<\/p>\n
\u6b8b\u5dee\u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u8868\u3055\u308c\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\nr_k & = r_0 – AV_ky_k \\\\
\n& = r_0 – \\sum_{i=1}^k y_k(i)Av_i
\n\\end{align}
\n\\]\n\u305f\u3060\u3057, \\(y_k(i)\\) \u306f\u30d9\u30af\u30c8\u30eb \\(y_k\\) \u306e i \u756a\u76ee\u306e\u6210\u5206\u3092\u8868\u3059.<\/p>\n\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6761\u4ef6: \\(min \\|r_k\\|_2\\) \u3092\u9069\u7528\u3059\u308b\u3068, \\((Av_1, Av_2, \\dots, Av_k)\\) \u304c\u6b63\u898f\u76f4\u4ea4\u7cfb\u3067\u3042\u308b\u305f\u3081\u6b21\u5f0f\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064.
\n\\[
\ny_k(i) = (Av_i, r_0)
\n\\]\n\u5f93\u3063\u3066, \\(y_k(i)\\) \u306f k \u306b\u4f9d\u5b58\u3057\u306a\u3044\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b\u306e\u3067 \\(y(i)\\) \u3068\u66f8\u304d\u76f4\u3059\u3068\u6b8b\u5dee\u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u8868\u3055\u308c\u308b.
\n\\[
\nr_k = r_0 – \\sum_{i=1}^k y(i)Av_i
\n\\]\n\u3053\u308c\u3088\u308a\u6b21\u306e\u6f38\u5316\u5f0f\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b.
\n\\[
\nr_k = r_{k-1} – y(k)Av_k
\n\\]\nGMRES \u6cd5\u3067\u306f\u8fd1\u4f3c\u89e3\u3092\u6c42\u3081\u308b\u306e\u306b QR \u5206\u89e3\u3092\u7528\u3044\u3066\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e57\u554f\u984c\u3092\u89e3\u3044\u305f\u304c, GCR \u6cd5\u3067\u306f\u4e0a\u306e\u6f38\u5316\u5f0f\u3092\u7528\u3044\u3066\u8fd1\u4f3c\u89e3\u3092\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u306e\u3067\u8a08\u7b97\u304c\u7c21\u5358\u306b\u306a\u308b.<\/p>\nGCR \u6cd5\u3067\u3082 GMRES \u6cd5\u3068\u540c\u69d8\u306b\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u5217\u3092\u4fdd\u5b58\u3057\u3066\u304a\u304f\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u305f\u3081\u5b9f\u7528\u4e0a\u306f\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u304c\u5fc5\u8981\u3067\u3042\u308b. \u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u4ed8\u304d\u306e GCR \u6cd5\u306f GCR(m) \u6cd5\u3068\u3088\u3070\u308c\u308b.<\/p>\n
\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u3092\u884c\u308f\u305a\u306b\u6700\u65b0\u306e m \u500b\u306e\u5024\u3060\u3051\u3092\u4f7f\u3046\u5207\u308a\u6368\u3066\u578b\u306e\u65b9\u6cd5\u3082\u3042\u308a, \u3053\u308c\u306f Orthomin(m) \u6cd5<\/strong>\u3068\u3088\u3070\u308c\u308b.<\/p>\n
5.3.5.2 \u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u306b\u3088\u308b\u89e3\u6cd5<\/h4>\n
5.3.5.2.1 \u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b<\/h4>\n
\u884c\u5217 A \u304c\u975e\u5bfe\u79f0\u306e\u5834\u5408\u3067\u3042\u3063\u3066\u3082, A \u306b\u95a2\u3059\u308b\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593 \\(K_{k+1}(A; u)\\) \u3068 \\(A^T\\) \u306b\u95a2\u3059\u308b\u3082\u3046\u3072\u3068\u3064\u306e\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593 \\(K_{k+1}(A^T; \\tilde{u})\\) \u306e\u53cc\u76f4\u4ea4\u7cfb \\(V_{k+1} = (v_1, v_2, \\dots, v_{k+1})\\) \u3068 \\(W_{k+1} = (w_1, w_2, \\dots, w_{k+1})\\) \u306e\u30da\u30a2\u3092\u6f38\u5316\u5f0f\u306b\u3088\u308a\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\n& AV_k = V_kT_k + \\gamma_{k+1} v_k e_k^T = V_{k+1}\\tilde{T_k} \\\\
\n& A^T W_k = W_k T_k^T + \\beta_{k+1} w_k e_k^T = W_{k+1}\\tilde{T_k}^T \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u305f\u3060\u3057, \\(e_k = (0, 0, \\dots, 0, 1)^T\\) \u3067\u3042\u308b.<\/p>\n\u6f38\u5316\u5f0f\u306e\u4fc2\u6570\u3092\u8868\u3059 k x k \u884c\u5217 \\(T_k\\) \u306f\u6b21\u306e\u3068\u304a\u308a\u3067\u3042\u308b.
\n\\[
\nT_k =
\n\\begin{pmatrix}
\n\\alpha_1 & \\beta_2 \\\\
\n\\gamma_2 & \\alpha_2 & \\beta_3 & & 0 \\\\
\n & \\gamma_3 & \\alpha_3 & \\beta_4 \\\\
\n & & \\ddots & \\ddots & \\ddots \\\\
\n & 0 & & \\gamma_{k-1} & \\alpha_{k-1} & \\beta_k \\\\
\n & & & & \\gamma_k & \\alpha_k \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\\(\\tilde{T_k}\\) \u306f\u3053\u308c\u306b 1 \u884c\u52a0\u3048\u305f (k+1) x k \u884c\u5217\u3067\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b.
\n\\[
\n\\tilde{T_k} =
\n\\begin{pmatrix}
\n\\alpha_1 & \\beta_2 \\\\
\n\\gamma_2 & \\alpha_2 & \\beta_3 & & 0 \\\\
\n & \\gamma_3 & \\alpha_3 & \\beta_4 \\\\
\n & & \\ddots & \\ddots & \\ddots \\\\
\n & & & \\gamma_{k-1} & \\alpha_{k-1} & \\beta_k \\\\
\n & 0 & & & \\gamma_k & \\alpha_k \\\\
\n & & & & & \\gamma_{k+1} \\\\
\n\\end{pmatrix}
\n\\]\n\u307e\u305f, \\(\\tilde{T_k}^T\\) \u306f \\(T_k^T\\) \u306b \\(\\beta_{k+1}e_k^T\\) \u306e 1 \u884c\u3092\u52a0\u3048\u305f (k+1) x k \u884c\u5217\u3092\u8868\u3059.<\/p>\n2 \u3064\u306e\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u306f\u53cc\u76f4\u4ea4\u3059\u308b\u306e\u3067\u6b21\u5f0f\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064.
\n\\[
\nV_k^TW_k = I
\n\\]\n\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217 \\(A\\) \u3068 \\(A^T\\) \u306b\u95a2\u3059\u308b\u53cc\u76f4\u4ea4\u3059\u308b\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u306e\u53cc\u76f4\u4ea4\u57fa\u5e95\u306e\u30da\u30a2\u3092\u6c42\u3081\u308b\u4ee5\u4e0b\u306e\u624b\u9806\u3092\u4e21\u5074\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u3068\u3044\u3046.<\/p>\n- \n
- \\(u\\) \u3068 \\(\\tilde{u}\\) \u306b\u3064\u3044\u3066 \\((u, \\tilde{u}) \\neq 0\\) \u3068\u3059\u308b<\/li>\n
- \\(\\beta_1 = \\gamma_1 = 0, v_0 = w_0 = 0, v_1 = u\/\\|u\\|, w_1 = \\tilde{u}\/(\\tilde{u}, v_1)\\) \u3068\u3057, \u4ee5\u4e0b\u3092 \\(k = 1, 2, \\dots\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u7e70\u308a\u8fd4\u3059\n
- \n
- \\(\\alpha_k = (w_k, Av_k)\\)<\/li>\n
- \\(v_{k+1} = Av_k – \\alpha_kv_k – \\beta_kv_{k-1}\\)<\/li>\n
- \\(w_{k+1} = A^Tw_k – \\alpha_kw_k – \\gamma_kw_{k-1}\\)<\/li>\n
- \\(\\gamma_{k+1} = \\|v_{k+1}\\|\\) \u3068\u3057\u3066, \\(v_{k+1} := v_{k+1}\/\\gamma_{k+1}\\) \u3068\u6b63\u898f\u5316\u3059\u308b<\/li>\n
- \\(\\beta_{k+1} = (v_{k+1}, w_{k+1})\\) \u3068\u3057\u3066, \\(w_{k+1} := w_{k+1}\/\\beta_{k+1}\\) \u3068\u6b63\u898f\u5316\u3059\u308b<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n
\u3053\u306e\u624b\u9806\u4e2d, \\(\\gamma_{k+1} = 0\\) \u306b\u306a\u3063\u305f\u3068\u304d\u306b\u306f\u89e3\u304c\u6c42\u3081\u3089\u308c\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067\u505c\u6b62\u3059\u308b. \\(\\beta_{k+1} = 0\\) \u306e\u5834\u5408, \u5272\u308a\u7b97\u304c\u3067\u304d\u306a\u304f\u306a\u308b\u306e\u3067\u8a08\u7b97\u304c\u7d99\u7d9a\u3067\u304d\u306a\u304f\u306a\u308b (\u30d6\u30ec\u30fc\u30af\u30c0\u30a6\u30f3\u304c\u767a\u751f\u3059\u308b). \u305d\u306e\u5834\u5408, \\(w_{k+1} = 0\\) \u306a\u3089\u3070\u521d\u671f\u5024\u3092\u5909\u3048\u3066\u8a08\u7b97\u3057\u76f4\u3059\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n
5.3.5.2.2 \u53cc\u5171\u5f79\u52fe\u914d (BICG (Bi-conjugate gradient)) \u6cd5<\/h4>\n
FOM \u3084\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e CG \u6cd5\u3067\u306f \\(r_k\\) \u304c\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593 \\(K_k(A^T; r_0)\\) \u3068\u76f4\u4ea4\u3059\u308b\u3068\u3044\u3046\u6761\u4ef6\u3092\u4ed8\u3051\u305f. \u4ee3\u308f\u308a\u306b, BICG \u6cd5\u3067\u306f\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e 2 \u3064\u306e\u53cc\u76f4\u4ea4\u3059\u308b\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593 \\(K_k(A; r_0)\\) \u304a\u3088\u3073 \\(K_k(A^T; \\tilde{r_0})\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306a\u53cc\u76f4\u4ea4\u6761\u4ef6\u3092\u4ed8\u3051\u308b.
\n\\[
\nr_k \\perp K_k(A^T; \\tilde{r_0})
\n\\]\n\u3053\u308c\u3088\u308a, \u6b21\u306e\u95a2\u4fc2\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\n0 & = W_k^Tr_k \\\\
\n& = W_k^Tr_0 – W_k^TAV_ky_k \\\\
\n& = \\|r_0\\| e_1 – T_ky_k \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u3053\u308c\u3088\u308a\u6b21\u306e\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u89e3\u3044\u3066 \\(y_k\\) \u3092\u5b9a\u3081, \u305d\u308c\u3092\u7528\u3044\u3066 \\(x_k\\) \u306e\u8fd1\u4f3c\u89e3\u3092\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\n& T_ky_k = \\|r_0\\|e_1 \\\\
\n& x_k = x_0 + V_ky_k \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\nBICG \u6cd5\u3067\u306f\u4e09\u91cd\u5bfe\u89d2\u884c\u5217 \\(T_k\\) \u3092 LU \u5206\u89e3\u3057\u3066 \\(y_k\\) \u3092\u6c42\u3081, \u305d\u308c\u3092\u7528\u3044\u3066 \\(x_k\\) \u304a\u3088\u3073 \\(r_k\\) \u3092\u66f4\u65b0\u3059\u308b. \u307e\u305f, \u53cc\u5bfe\u7cfb\u306e\u6b8b\u5dee\u30d9\u30af\u30c8\u30eb \\(\\tilde{r_k}\\) \u3082\u540c\u6642\u306b\u66f4\u65b0\u3059\u308b.<\/p>\nBICG \u6cd5\u3067\u306f \\(A^T\\) \u306b\u95a2\u3059\u308b\u8a08\u7b97, \u3059\u306a\u308f\u3061, \\(A^Tx\\) (\u4e57\u7b97) \u3068 \\(M^Tx = b\\) \u306e\u89e3 (\u524d\u51e6\u7406) \u304c\u5fc5\u8981\u306b\u306a\u308b. \u4fc2\u6570\u884c\u5217 \\(A\\) \u304c\u967d\u306b\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u3066\u3044\u308b\u5834\u5408\u306b\u306f\u554f\u984c\u306a\u3044\u304c, \u305d\u3046\u3067\u306a\u3044\u7279\u5225\u306e\u5834\u5408\u306b\u306f\u9069\u7528\u304c\u96e3\u3057\u3044\u3053\u3068\u304c\u3042\u308b\u304b\u3082\u3057\u308c\u306a\u3044.<\/p>\n
\\(A\\) \u304c\u5bfe\u79f0\u884c\u5217 (\\(A = A^T\\)\uff09\u3067 \\(\\tilde{r_0} = r_0\\) \u306e\u3068\u304d, BICG \u6cd5\u306f CG \u6cd5\u306b\u5e30\u7740\u3059\u308b.<\/p>\n
BICG \u6cd5\u306f\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u306e\u76f4\u4ea4\u6761\u4ef6\u304c\u6e80\u305f\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u308f\u3051\u3067\u306f\u306a\u3044\u306e\u3067\u7406\u8ad6\u7684\u306a\u53ce\u675f\u6027\u306f\u3088\u304f\u308f\u304b\u3063\u3066\u3044\u306a\u3044\u304c, \u884c\u5217\u306e\u7a2e\u985e\u306b\u3088\u3063\u3066\u306f GMRES \u6cd5\u3068\u540c\u7b49\u306e\u53cd\u5fa9\u56de\u6570\u3067\u53ce\u675f\u3059\u308b\u3068\u3055\u308c\u308b.<\/p>\n
5.3.5.2.3 \u7a4d\u578b\u53cd\u5fa9\u89e3\u6cd5<\/h4>\n
\\(\\tilde{r_0}, \\tilde{r_1}, \\dots, \\tilde{r_k}\\) \u3092 BICG \u6cd5\u306e\u6b8b\u5dee\u5217\u3068\u3059\u308b. \\(H_0(A), H_1(A), \\dots, H_k(A)\\) \u3092\u591a\u9805\u5f0f\u5217\u3068\u3059\u308b. \u305f\u3060\u3057, \\(H_k(A)\\) \u306f k \u6b21\u591a\u9805\u5f0f\u3092\u8868\u3059.<\/p>\n
\u3053\u306e\u3068\u304d, \u6b8b\u5dee\u304c \\(H_0(A)\\tilde{r_0}, H_1(A)\\tilde{r_1}, \\dots, H_k(A)\\tilde{r_k}\\) \u3068\u306a\u308b\u3088\u3046\u306b\u3057\u3066\u53ce\u675f\u306e\u52a0\u901f\u3092\u56f3\u308b\u3053\u3068\u3092\u8003\u3048\u308b. \u3053\u306e\u3088\u3046\u306a\u89e3\u6cd5\u3092\u7a4d\u578b\u53cd\u5fa9\u89e3\u6cd5\u3068\u3044\u3046.<\/p>\n
BICG \u6cd5\u3067\u306f\u6b8b\u5dee\u3092 \\(\\tilde{r_k} = R_k(A)r_0\\) \u3068\u8868\u3059\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b. \u305f\u3060\u3057, \\(R_k(A)\\) \u306f k \u6b21\u591a\u9805\u5f0f\u3067\u3042\u308b. \u305d\u3046\u3059\u308b\u3068, \u7a4d\u578b\u53cd\u5fa9\u89e3\u6cd5\u306e\u6b8b\u5dee \\(r_k\\) \u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u8868\u3055\u308c\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\nr_k & = H_k(A)R_k(A)r_0 \\\\
\n& = b – Ax_k \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u3053\u306e\u3068\u304d\u6b21\u306e\u95a2\u4fc2\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064.
\n\\[
\nx_{k+1} – x_k = A^{-1}(H_{k+1}(A)R_{k+1}(A) – H_k(A)R_k(A))r_0
\n\\]\n\u3053\u306e\u6f38\u5316\u5f0f\u3067\u306f \\(H_k(0)R_k(0) = 1\\) \u3067\u3042\u308b\u3068\u3059\u308b. BICG \u6cd5\u3067\u306f \\(R_k(0) = 1\\) \u3067\u3042\u308b\u304b\u3089, \u3053\u306e\u6761\u4ef6\u306f \\(H_k(0) = 1\\) \u306b\u5e30\u7740\u3055\u308c\u308b.<\/p>\n\u7a4d\u578b\u53cd\u5fa9\u89e3\u6cd5\u3067\u306f BICG \u6cd5\u3068\u7570\u306a\u308a \\(A^T\\) \u306b\u95a2\u3059\u308b\u8a08\u7b97 (\u4e57\u7b97\u3068\u524d\u51e6\u7406\u306e\u8a08\u7b97) \u306f\u4e0d\u8981\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
(1) \u4e8c\u4e57\u5171\u5f79\u52fe\u914d (CGS (Conjugate gradient squared)) \u6cd5<\/h4>\n
BICG \u6cd5\u3067\u306f \\(r_0\\) \u306b \\(R_k(A)\\) \u3092\u639b\u3051\u308b\u3053\u3068\u306b\u3088\u308a\u6b8b\u5dee\u306f\u6e1b\u5c11\u3057\u3066\u3044\u304f\u306e\u3060\u304b\u3089 \\(R_k(A)^2r_0\\) \u3068\u3059\u308b, \u3059\u306a\u308f\u3061, \u7a4d\u578b\u53cd\u5fa9\u89e3\u6cd5\u3067 \\(H_k(A) = R_k(A)\\) \u3068\u3059\u308b\u3068, 2 \u500d\u306e\u901f\u3055\u3067\u53ce\u675f\u3057\u305d\u3046\u3067\u3042\u308b. \u3053\u308c\u3092 CGS \u6cd5\u3068\u3088\u3076. \u5b9f\u969b\u306b\u306f x \u306b\u5bfe\u3059\u308b\u53cd\u5fa9\u3054\u3068\u306e\u88dc\u6b63\u304c\u5927\u304d\u3059\u304e\u308b\u3068\u8a08\u7b97\u304c\u4e0d\u5b89\u5b9a\u306b\u306a\u3063\u305f\u308a\u767a\u6563\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3042\u308b\u305f\u3081\u3044\u3064\u3082 2 \u500d\u306e\u901f\u3055\u3067\u53ce\u675f\u3059\u308b\u308f\u3051\u3067\u306f\u306a\u3044.<\/p>\n
(2) \u5b89\u5b9a\u5316\u53cc\u5171\u5f79\u52fe\u914d (BICGSTAB (Bi-conjugate gradient stabilized)) \u6cd5<\/h4>\n
CGS \u6cd5\u306e\u53ce\u675f\u306f\u4e0d\u5b89\u5b9a\u306b\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u3042\u308b\u305f\u3081, BICGSTAB \u6cd5\u3067\u306f\u305d\u308c\u3092\u6539\u5584\u3059\u308b\u305f\u3081\u306b \\(H_k(A) = Q_k(A)\\) \u3068\u3059\u308b. \\(Q_k(A)\\) \u306f k \u6b21\u306e\u5b89\u5b9a\u5316\u591a\u9805\u5f0f\u3068\u547c\u3070\u308c\u6b21\u306e\u6f38\u5316\u5f0f\u3067\u8868\u3055\u308c\u308b.
\n\\[
\nQ_{k+1}(A) = (1 – \\omega_kA)Q_k(A), \\space Q_0(A) = 1
\n\\]\n\u30b9\u30ab\u30e9\u30fc\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf \\(\\omega_k\\) \u306f\u6b8b\u5dee\u30ce\u30eb\u30e0 \\(\\|r_{k+1}\\|\\) \u3092\u6700\u5c0f\u306b\u3059\u308b\u3088\u3046\u306b\u6c7a\u3081\u3089\u308c\u308b.<\/p>\n(3) \u7a4d\u578b\u53cc\u5171\u5f79\u52fe\u914d (GPBICG (Generalized product bi-conjugate gradient)) \u6cd5<\/h4>\n
GPBICG \u6cd5\u3067\u306f\u5b89\u5b9a\u5316\u591a\u9805\u5f0f \\(H_k(A)\\) \u3092\u6b21\u306e\u6f38\u5316\u5f0f\u3067\u4e0e\u3048\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\n& H_0(A) = 1, \\space G_0(A) = \\omega_0 \\\\
\n& H_{k+1}(A) = H_k(A) – AG_k(A) \\\\
\n& G_{k+1}(A) = \\omega_{k+1}H_{k+1}(A) + \\eta_{k+1}G_k(A) \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u30b9\u30ab\u30e9\u30fc\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf \\(\\omega_k\\), \\(\\eta_k\\) \u306f\u6b8b\u5dee\u30ce\u30eb\u30e0 \\(\\|r_{k+1}\\|\\) \u3092\u6700\u5c0f\u306b\u3059\u308b\u3088\u3046\u306b\u6c7a\u3081\u3089\u308c\u308b. \\(\\eta_k = 0\\) \u3068\u3059\u308b\u3068 BICGSTAB \u6cd5\u306b\u5e30\u7740\u3059\u308b.<\/p>\n(4) BICGSTAB2 \u6cd5<\/h4>\n
\u5076\u6570\u56de\u76ee\u306e\u53cd\u5fa9\u3067 BICGSTAB \u6cd5\u306e\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf (\u3059\u306a\u308f\u3061, \\(\\eta_k = 0\\)) \u3092\u9069\u7528\u3057, \u5947\u6570\u56de\u76ee\u306e\u53cd\u5fa9\u3067\u306f GPBICG \u6cd5\u306e\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf\u3092\u4f7f\u3046\u65b9\u6cd5\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
5.3.5.2.4 \u7591\u4f3c\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee (QMR (Quasi minimum residual)) \u6cd5<\/h4>\n
\\(r_k = r_0 – AV_ky_k\\) \u3088\u308a\u6b21\u5f0f\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b.
\n\\[
\nr_k = V_k+1(\\|r_0\\|e_1 – \\tilde{T_k}y_k)
\n\\]\n\u5f93\u3063\u3066, \\(r_k\\) \u306e\u30ce\u30eb\u30e0\u306f\u6b21\u5f0f\u3092\u6e80\u305f\u3059.
\n\\[
\n\\|r_k\\| \\le \\|V_{k+1}\\| \\|(\\|r_0\\|) e_1 – \\tilde{T_k}y_k\\|
\n\\]\nQMR \u6cd5\u3067\u306f\u3053\u308c\u306e\u7b2c 2 \u9805\u3092\u6700\u5c0f\u5316\u3059\u308b\u3088\u3046\u306b\u6b21\u306e\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e57\u554f\u984c\u3092\u89e3\u3044\u3066 \\(y_k\\) \u3092\u5b9a\u3081\u308b.
\n\\[
\ny_k = arg min \\|(\\|r_0\\|)e_1 – \\tilde{T_k}y_k\\|
\n\\]\n\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e57\u89e3\u306f \\(\\tilde{T_k}\\) \u3092\u30ae\u30d6\u30f3\u30b9\u5909\u63db\u3092\u65bd\u3057\u3066 QR \u5206\u89e3\u3059\u308b\u3053\u3068\u306b\u3088\u308a\u6c42\u3081\u3089\u308c\u308b.<\/p>\nQMR \u6cd5\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\u7406\u8ad6\u7684\u306a\u53ce\u675f\u6027\u304c\u89e3\u6790\u3055\u308c\u3066\u304a\u308a, GMRES \u6cd5\u306b\u5339\u6575\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u3063\u3066\u3044\u308b.<\/p>\n
BICG \u6cd5\u3067\u306f\u4e09\u91cd\u5bfe\u89d2\u884c\u5217 \\(T_k\\) \u304c\u7279\u7570\u306b\u306a\u308b\u3068\u30a2\u30eb\u30b4\u30ea\u30ba\u30e0\u304c\u505c\u6b62\u3059\u308b\u304c, QMR \u6cd5\u3067\u306f\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e57\u554f\u984c\u3092\u89e3\u304f\u305f\u3081\u89e3\u3092\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b. \u3055\u3089\u306b, \u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u306e\u30d6\u30ec\u30fc\u30af\u30c0\u30a6\u30f3\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u305f\u3081\u306b\u5148\u8aad\u307f (Look-Ahead) \u6280\u6cd5\u3092\u7d44\u307f\u8fbc\u3093\u3060\u5b9f\u88c5\u3082\u3042\u308b. \u5148\u8aad\u307f\u6280\u6cd5\u3092\u7d44\u307f\u8fbc\u3093\u3067\u3044\u306a\u304f\u3066\u3082, QMR \u6cd5\u306f BICG \u6cd5\u3088\u308a\u3082\u5b89\u5b9a\u306b\u53ce\u675f\u3059\u308b\u50be\u5411\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n
\u306a\u304a, \u3082\u3068\u3082\u3068\u306e QMR \u6cd5\u306f\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u306e 3 \u9805\u6f38\u5316\u5f0f\u3092\u4f7f\u3046\u304c, \u7b49\u4fa1\u306a 2 \u9805\u6f38\u5316\u5f0f\u306e\u30da\u30a2\u3092\u4f7f\u3046\u65b9\u6cd5\u3082\u3042\u308a, \u5c11\u3057\u7cbe\u5ea6\u304c\u3088\u304f\u306a\u308b\u3068\u3055\u308c\u308b.<\/p>\n
QMR \u6cd5\u3067\u306f BICG \u6cd5\u3068\u540c\u69d8\u306b \\(A^T\\) \u306b\u95a2\u3059\u308b\u8a08\u7b97, \u3059\u306a\u308f\u3061, \\(A^Tx\\) (\u4e57\u7b97) \u3068 \\(M^Tx = b\\) \u306e\u89e3 (\u524d\u51e6\u7406) \u304c\u5fc5\u8981\u3067\u3042\u308b\u304c, \u305d\u308c\u3092\u4e0d\u8981\u306b\u3057\u305f\u306e\u304c Transpose free QMR (TFQMR) \u6cd5<\/strong>\u3067, CGS \u6cd5\u306b\u304a\u3051\u308b\u53cc\u76f4\u4ea4\u6761\u4ef6\u3092\u7591\u4f3c\u6700\u5c0f\u6b8b\u5dee\u6761\u4ef6\u306b\u5909\u66f4\u3057\u305f\u89e3\u6cd5\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
5.3.5.3 \u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u306e\u6bd4\u8f03<\/h4>\n
5.3.5.3.1 \u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e 5 \u70b9\u5dee\u5206\u8fd1\u4f3c (\u975e\u5bfe\u79f0)<\/h4>\n
\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u6570\u5024\u5b9f\u9a13\u3067\u4f7f\u7528\u3057\u305f\u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e 5 \u70b9\u5dee\u5206\u8fd1\u4f3c\u306e\u4f8b\u3092\u5c11\u3057\u5909\u5f62\u3057\u3066\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u4fc2\u6570\u306b\u3059\u308b.<\/p>\n
(1) \u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u4f8b (\u975e\u5bfe\u79f0)<\/h4>\n
5.2.1.4 \u306e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u4f8b\u984c\u3092\u5c11\u3057\u5909\u5f62\u3057\u3066, \u6b21\u306e\u3088\u3046\u306a 2 \u6b21\u5143\u6b63\u65b9\u5f62\u9818\u57df (0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1) \u306b\u304a\u3051\u308b\u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u8003\u3048\u308b.
\n\\[
\n-\\Delta u – \\partial u\/\\partial x = f
\n\\]\n\u3053\u3053\u3067, \\(\\Delta u = \\nabla \\cdot(\\nabla u) = \\partial^2u\/\\partial x^2 + \\partial^2u\/\\partial y^2\\) \u3067\u3042\u308b.<\/p>\n\u5883\u754c\u6761\u4ef6\u306f\u6b21\u306e\u3068\u304a\u308a\u3068\u3059\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\n& u(x, 0) = 0, \\space u(x, 1) = 0 \\space (0 \\le x \\le 1) \\\\
\n& u(0, y) = 0, \\space u(1, y) = 0 \\space (0 \\le y \\le 1) \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u8ffd\u52a0\u3055\u308c\u305f\u5de6\u8fba\u7b2c 2 \u9805\u306f\u79fb\u6d41\u9805\u3068\u3088\u3070\u308c\u308b.<\/p>\n(2) 5 \u70b9\u5dee\u5206\u8fd1\u4f3c\u306b\u3088\u308b\u96e2\u6563\u5316<\/h4>\n
\u79fb\u6d41\u9805\u3092\u4e2d\u5fc3\u5dee\u5206\u3092\u7528\u3044\u3066\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u8868\u3059.
\n\\[
\n-\\partial u\/\\partial x = \\frac{u(x-h, y) – u(x+h, y)}{2h} = \\frac{u_{i-1,j} – u_{i+1,j}}{2h}
\n\\]\n\u3053\u308c\u3088\u308a\u6b21\u306e\u5dee\u5206\u65b9\u7a0b\u5f0f\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b.
\n\\[
\n-u_{i-1,j} – (1 – \\frac{h}{2}u_{i,j-1} + 4u_{i,j} – (1 + \\frac{h}{2}u_{i+1,j} – u_{i,j+1} = h^2 f_{i,j}
\n\\]\n\u3053\u3046\u3057\u3066\u5f97\u3089\u308c\u305f\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u4fc2\u6570\u884c\u5217\u306f\u4e0a\u4e0b\u306e\u526f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u306e\u5024\u304c\u7570\u306a\u308b\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306b\u306a\u308b.<\/p>\n(3) \u6570\u5024\u5b9f\u9a13 (5) \u5dee\u5206\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u89e3\u304f<\/h4>\n
\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u4f8b\u984c\u306e\u5dee\u5206\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u89e3\u304f. \u3053\u3053\u3067\u306f N = 31 (900 \u5143\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f, \u975e\u30bc\u30ed\u8981\u7d20\u6570 = 4380) \u3068\u3057, \u89e3\u304c (1, 1, …, 1) \u3068\u306a\u308b\u3088\u3046\u306b\u53f3\u8fba\u3092\u8a2d\u5b9a\u3057\u305f.<\/p>\n
\u6bd4\u8f03\u3059\u308b\u89e3\u6cd5\u306f FOM, GMRES, GCR, BICG, CGS, BICGSTAB, GPBICG, BICGSTAB2, QMR, TFQMR \u3067\u3042\u308b. \u521d\u671f\u5024\u3092 (0, 0, …, 0) \u3068\u3057\u305f\u3068\u304d\u306e\u53ce\u675f\u306e\u69d8\u5b50\u3092\u6b21\u306b\u793a\u3059. \u6a2a\u8ef8\u306f\u53cd\u5fa9\u56de\u6570, \u7e26\u8ef8\u306f\u6b8b\u5dee\u30ce\u30eb\u30e0 (\u53f3\u8fba\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u306e\u30ce\u30eb\u30e0\u3067\u6b63\u898f\u5316\u3057\u305f\u3082\u306e) \u3067\u3042\u308b. GMRES, FOM, GCR \u3067\u306f\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u3084\u5207\u308a\u6368\u3066\u304c\u8d77\u3053\u3089\u306a\u3044\u3088\u3046\u306b\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf M \u3092\u5341\u5206\u5927\u304d\u304f\u3068\u3063\u305f.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.ktech.biz\/jp\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2026\/08\/5-3_5_exp7.png\")
<\/p>\n\u3053\u306e\u4f8b\u3067\u306f GMRES \u3068 GCR \u306f\u540c\u3058\u7d50\u679c\u306b\u306a\u3063\u305f\u306e\u3067\u56f3\u3067\u306f\u91cd\u306a\u3063\u3066 GCR \u3057\u304b\u898b\u3048\u306a\u3044. <\/p>\n
\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u3092\u7528\u3044\u305f GMRES \u306f\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u57fa\u672c\u89e3\u6cd5\u3068\u3044\u3048\u308b\u304c, \u5b89\u5b9a\u3057\u3066\u53ce\u675f\u3057\u3066\u3044\u308b\u306e\u304c\u308f\u304b\u308b. \u540c\u3058\u304f\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u3092\u7528\u3044\u305f FOM \u3068 GCR \u3082\u540c\u69d8\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
BICG \u306f\u3053\u308c\u3089\u3088\u308a\u3082\u8a08\u7b97\u304c\u5bb9\u6613\u306a\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u3092\u7528\u3044\u306a\u304c\u3089\u3082\u540c\u7a0b\u5ea6\u306e\u53ce\u675f\u6027\u3092\u72d9\u3063\u305f\u3082\u306e\u3067\u3042\u308b\u304c, \u72d9\u3044\u3069\u304a\u308a\u304a\u304a\u3080\u306d GMRES \u306b\u5339\u6575\u3059\u308b\u53ce\u675f\u6027\u3092\u793a\u3057\u3066\u3044\u308b. \u305f\u3060\u3057, BICG \u306f\u3084\u3084\u4e0d\u5b89\u5b9a\u306a\u6319\u52d5\u3092\u793a\u3057\u3066\u3044\u308b (\u6b8b\u5dee\u304c\u5358\u8abf\u6e1b\u5c11\u3057\u3066\u3044\u306a\u3044). \u305d\u308c\u306b\u5bfe\u3057\u3066, QMR \u306f BICG \u306e\u5b89\u5b9a\u5316\u3092\u72d9\u3063\u305f\u3082\u306e\u3067\u3042\u308b\u304c, BICG \u3068\u53ce\u675f\u306e\u901f\u3055\u304c\u540c\u7b49\u3067\u304b\u3064\u3088\u308a\u5b89\u5b9a\u3057\u3066\u53ce\u675f\u3057\u3066\u3044\u308b\u306e\u304c\u308f\u304b\u308b.<\/p>\n
\u4ee5\u4e0a\u306e\u30a2\u30fc\u30ce\u30eb\u30c7\u30a3\u904e\u7a0b\u3092\u7528\u3044\u305f\u89e3\u6cd5 (GMRES, FOM, GCR) \u3068\u30e9\u30f3\u30c1\u30e7\u30b9\u904e\u7a0b\u3092\u7528\u3044\u306a\u304c\u3089\u3082\u540c\u7b49\u306e\u53ce\u675f\u6027\u3092\u72d9\u3063\u305f BICG \u304a\u3088\u3073 QMR \u306e\u30b0\u30eb\u30fc\u30d7\u3092\u57fa\u672c\u306e\u53ce\u675f\u901f\u5ea6\u3068\u3059\u308b\u3068, \u7a4d\u578b\u53cd\u5fa9\u6cd5\u306f\u305d\u308c\u3088\u308a\u3082\u901f\u30442\u3064\u306e\u30b0\u30eb\u30fc\u30d7\u306b\u306f\u3063\u304d\u308a\u3068\u5206\u304b\u308c\u305f.<\/p>\n
\u7a4d\u578b\u53cd\u5fa9\u6cd5\u306e BICG \u306b\u5bfe\u3059\u308b\u7279\u9577\u306f, \u8ee2\u7f6e\u306b\u95a2\u3059\u308b\u8a08\u7b97\u304c\u4e0d\u8981\u306a\u3053\u3068\u306e\u4ed6\u306b\u901f\u304f\u53ce\u675f\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u671f\u5f85\u3067\u304d\u308b\u3053\u3068\u3067\u3042\u308b. CGS \u306f BICG \u3088\u308a\u3082\u901f\u3044\u304c\u304b\u306a\u308a\u4e0d\u5b89\u5b9a\u306a\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b. \u305d\u306e\u5b89\u5b9a\u5316\u3092\u72d9\u3063\u305f BICGSTAB, GPBICG, BICGSTAB2 \u306f\u5b89\u5b9a\u6027\u304c\u5897\u3057\u3066\u3044\u308b\u3060\u3051\u3067\u306a\u304f CGS \u3088\u308a\u3055\u3089\u306b\u901f\u3044\u30b0\u30eb\u30fc\u30d7\u3092\u5f62\u6210\u3057\u3066\u3044\u308b. TFQMR \u3068 CGS \u306e\u95a2\u4fc2\u306f QMR \u3068 BICG \u306e\u95a2\u4fc2\u306b\u540c\u3058\u306a\u306e\u3067, TFQMR \u306f CGS \u3068\u307b\u307c\u540c\u3058\u53ce\u675f\u901f\u5ea6\u3060\u304c\u5b89\u5b9a\u5316\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u306e\u304c\u308f\u304b\u308b.<\/p>\n
\u3053\u306e\u4f8b\u984c\u306f\u6bd4\u8f03\u7684\u89e3\u304d\u3084\u3059\u3044\u554f\u984c\u3067\u3042\u308b\u305f\u3081\u305d\u308c\u305e\u308c\u306e\u89e3\u6cd5\u306e\u7279\u5fb4\u3092\u3088\u304f\u8868\u3057\u3066\u3044\u308b\u3068\u601d\u308f\u308c\u308b\u304c, \u5b9f\u969b\u306e\u554f\u984c\u3067\u306f\u554f\u984c\u306b\u3088\u3063\u3066\u9069\u5207\u306a\u89e3\u6cd5\u304c\u7570\u306a\u308b.<\/p>\n
5.3.5.3.2 GMRES \u306b\u304a\u3051\u308b\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u30fb\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf<\/h4>\n
\u6570\u5024\u5b9f\u9a13 (6) \u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u3042\u308b\u3044\u306f\u5207\u308a\u6368\u3066\u306e\u5f71\u97ff<\/h4>\n
\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u4f8b\u984c (N = 31) \u306e\u5dee\u5206\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u89e3\u304f.<\/p>\n
GMRES (\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8) \u304a\u3088\u3073 DQGMRES (\u5207\u308a\u6368\u3066) \u306b\u304a\u3044\u3066\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf m \u3092 5, 10, 15 \u3068\u5909\u5316\u3055\u305b\u3066, \u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u3042\u308b\u3044\u306f\u5207\u308a\u6368\u3066\u306a\u3057\u306e\u5834\u5408\u3068\u6bd4\u8f03\u3059\u308b.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.ktech.biz\/jp\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2026\/08\/5-3_5_exp8.png\")
<\/p>\n\u3053\u3053\u3067, \u7121\u5370\u306e GMRES \u3068 DQGMRES (\u30ea\u30b9\u30bf\u30fc\u30c8\u3042\u308b\u3044\u306f\u5207\u308a\u6368\u3066\u306a\u3057 (m \u3092\u5341\u5206\u306b\u5927\u304d\u304f\u3068\u3063\u305f)) \u306f\u540c\u3058\u7d50\u679c\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u306e\u3067\u56f3\u3067\u306f\u91cd\u306a\u3063\u3066 DQGMRES \u3057\u304b\u8868\u793a\u3055\u308c\u3066\u3044\u306a\u3044. \u53cd\u5fa9\u56de\u6570\u3067\u8868\u793a\u3057\u305f\u3053\u306e\u56f3\u3067\u306f DQGMRES \u306e\u65b9\u304c\u6709\u5229\u306b\u898b\u3048\u308b\u304c, 1 \u56de\u306e\u53cd\u5fa9\u5f53\u305f\u308a\u306e\u8a08\u7b97\u91cf\u306f GMRES \u306e\u65b9\u304c\u5c11\u306a\u304f\u306a\u308b\u306e\u3067\u5b9f\u969b\u306e\u3068\u3053\u308d\u306f\u8a08\u7b97\u901f\u5ea6\u3092\u8a08\u6e2c\u3057\u3066\u307f\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b. DQGMRES \u3067\u306f\u8aa4\u5dee\u304c\u84c4\u7a4d\u3055\u308c\u308b\u306e\u304b m \u304c\u5c0f\u3055\u3044\u3068\u8a08\u7b97\u7cbe\u5ea6\u306e\u9650\u754c\u304c\u73fe\u308c\u308b\u3088\u3046\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
5.3.6 \u524d\u51e6\u7406\u4ed8\u304d\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5<\/h3>\n
CG \u6cd5\u306e\u53ce\u675f\u5b9a\u7406\u304b\u3089\u308f\u304b\u308b\u3088\u3046\u306b, \u6761\u4ef6\u6570\u304c\u5c0f\u3055\u304f\u306a\u308b\u3088\u3046\u306b\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u5909\u63db\u3057\u3066\u304b\u3089 CG \u6cd5\u3092\u9069\u7528\u3067\u304d\u308c\u3070\u53ce\u675f\u3092\u901f\u304f\u3067\u304d\u308b\u3053\u3068\u304c\u671f\u5f85\u3055\u308c\u308b. \u3053\u308c\u3092\u524d\u51e6\u7406\u3068\u3044\u3044, CG \u6cd5\u306b\u9650\u3089\u305a\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u3092\u9069\u7528\u3059\u308b\u969b\u306b\u306f\u4e00\u822c\u7684\u306a\u65b9\u6cd5\u3068\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b. \u5b9f\u969b\u306b, \u524d\u51e6\u7406\u3092\u3057\u306a\u3044\u5834\u5408\u306b\u6bd4\u3079\u3066\u5927\u5e45\u306b\u53ce\u675f\u304c\u901f\u304f\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u591a\u3044.<\/p>\n
n \u00d7 n \u884c\u5217 M \u3092\u884c\u5217 A \u306e\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217\u3068\u3059\u308b. M \u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u884c\u5217 A \u3092\u8fd1\u4f3c\u3067\u304d\u308b\u3088\u3046\u306b\u9078\u3076.
\n\\[
\nM = M_1 M_2 \\simeq A
\n\\]\n\u6b21\u5f0f\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064.
\n\\[
\nM_1^{-1} A M_2^{-1} \\simeq I
\n\\]\n\u3053\u308c\u3092\u4f7f\u3063\u3066, \u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u4fc2\u6570\u3092\u5909\u63db\u3059\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\n& \\tilde{A} = M_1^{-1} A M_2^{-1} \\\\
\n& \\tilde{x} = M_2 x \\\\
\n& \\tilde{b} = M_1^{-1} b \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u3053\u3046\u3057\u3066\u5f97\u3089\u308c\u305f\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306f, \u4fc2\u6570\u884c\u5217 A \u304c\u3088\u308a\u5358\u4f4d\u884c\u5217 I \u306b\u8fd1\u3065\u3044\u305f\u89e3\u304d\u3084\u3059\u3044\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b.
\n\\[
\n\\tilde{A} \\tilde{x} = \\tilde{b} \\space (\\tilde{A} \\simeq I)
\n\\]\n\u3053\u306e\u3088\u3046\u306b\u3057\u3066\u5909\u63db\u3055\u308c\u305f\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306b\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u3092\u9069\u7528\u3059\u308b\u3053\u3068\u3092\u524d\u51e6\u7406\u4ed8\u304d\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u3068\u3044\u3046.<\/p>\n\u306a\u304a, \\(M_1 \\ne I\\) \u304b\u3064 \\(M_2 \\ne I\\) \u306e\u5834\u5408\u3092\u5206\u96e2\u524d\u51e6\u7406 (\u4e21\u5074\u524d\u51e6\u7406), \\(M_1 = I\\) \u306e\u5834\u5408\u3092\u53f3\u524d\u51e6\u7406, \\(M_2 = I\\) \u306e\u5834\u5408\u3092\u5de6\u524d\u51e6\u7406\u3068\u3044\u3046.
\n\\[
\n\\begin{align}
\n& AM^{-1}(Mx) = b \\space (\u53f3\u524d\u51e6\u7406) \\\\
\n& M^{-1}Ax = M^{-1}b \\space (\u5de6\u524d\u51e6\u7406) \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u5206\u96e2\u524d\u51e6\u7406, \u53f3\u524d\u51e6\u7406\u3001\u5de6\u524d\u51e6\u7406\u306e\u3046\u3061\u3069\u306e\u524d\u51e6\u7406\u3092\u4f7f\u7528\u3057\u3066\u3082\u540c\u3058\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217\u3067\u3042\u308c\u3070\u53ce\u675f\u6027\u306f\u5927\u304d\u304f\u306f\u5909\u308f\u3089\u306a\u3044.<\/p>\nA \u304c\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u5834\u5408\u306b\u306f \\(\\tilde{A}\\) \u3082\u5bfe\u79f0\u306b\u306a\u308b\u3088\u3046\u306b \\(M_1 = M_2^T\\) \u3068\u306a\u308b\u3088\u3046\u306a\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217\u3092\u4f7f\u3063\u305f\u5206\u96e2\u524d\u51e6\u7406\u3092\u4f7f\u7528\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u591a\u3044. A \u304c\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u5834\u5408\u306b\u306f\u6b8b\u5dee\u306e\u5927\u304d\u3055\u304c\u5909\u308f\u3089\u306a\u3044\u53f3\u524d\u51e6\u7406\u3092\u4f7f\u3046\u3053\u3068\u304c\u591a\u3044.<\/p>\n
5.3.6.1 \u524d\u51e6\u7406\u4ed8\u304d CG \u6cd5<\/h4>\n
\u5bfe\u79f0\u306a\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217 \\(M\\) \u306b\u3064\u3044\u3066 \\(M_1 = M_2 = M^{1\/2}\\) \u3068\u8868\u3059\u3053\u3068\u306b\u3059\u308b. \u3053\u308c\u3092\u7528\u3044\u3066 \\(\\tilde{A}\\), \\(\\tilde{b}\\) \u304a\u3088\u3073 \\(\\tilde{x}\\) \u3092\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b.
\n\\[
\n\\begin{align}
\n& \\tilde{A} = M^{-1\/2} A M^{-1\/2} \\\\
\n& \\tilde{x} = M^{1\/2} x \\\\
\n& \\tilde{b} = M^{-1\/2} b \\\\
\n\\end{align}
\n\\]\n\u3053\u306e\u3088\u3046\u306b\u3059\u308b\u3068, \\(Ax = b\\) \u3068\u7b49\u4fa1\u306a\u65b9\u7a0b\u5f0f \\(\\tilde{A} \\tilde{x} = \\tilde{b}\\) \u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b. \u3053\u308c\u306b\u901a\u5e38\u3068\u540c\u3058\u89e3\u6cd5\u3092\u9069\u7528\u3059\u308c\u3070\u3088\u3044.<\/p>\nCG \u6cd5\u306e\u5834\u5408\u306b\u306f\u3053\u308c\u3092\u4f7f\u3063\u3066\u8a08\u7b97\u624b\u9806\u3092<\/p>\n
- \n
- \\(\\alpha_k = \\frac{(\\tilde{r}_k, \\tilde{r}_k)}{(\\tilde{p}_k, \\tilde{A}\\tilde{p}_k)}\\)<\/li>\n
- \\(\\tilde{x}_{k+1} = \\tilde{x}_k + \\alpha_k\\tilde{p}_k\\)<\/li>\n
- \\(\\cdots\\)<\/li>\n<\/ul>\n
\u306a\u3069\u3068\u66f8\u304f\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u304c, \\(\\tilde{r}_k = M^{-1\/2}r_k, \\tilde{p}_k = M^{1\/2}p_k\\) \u306a\u3069\u306e\u95a2\u4fc2\u3092\u4f7f\u3063\u3066\u66f8\u304d\u63db\u3048\u308b\u3068\u6b21\u306e\u624b\u9806\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b. \\(M^{1\/2}\\) \u306e\u9805\u304c\u6d88\u3048\u3066 \\(M^{-1}y\\) \u3092\u6c42\u3081\u308b\u3068\u3044\u3046\u8a08\u7b97 (= \u65b9\u7a0b\u5f0f \\(Mx = y\\) \u3092\u89e3\u3044\u3066 \\(x\\) \u3092\u6c42\u3081\u308b) \u3092\u52a0\u3048\u305f\u3060\u3051\u306b\u306a\u308b.<\/p>\n
\u524d\u51e6\u7406\u4ed8\u304dCG\u6cd5\u306e\u8a08\u7b97\u624b\u9806<\/h4>\n
- \n
- \\(x_0\\) = \u521d\u671f\u63a8\u5b9a\u5024, \\(r_0 = b – Ax_0\\), \\(p_0 = M^{-1}r_0\\) \u3068\u3059\u308b<\/li>\n
- \u4ee5\u4e0b\u3092 \\(k = 0, 1, 2, \\dots\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u7e70\u308a\u8fd4\u3059\n
- \n
- \\(\\alpha_k = (M^{-1}r_k, r_k)\/(p_k, Ap_k)\\)<\/li>\n
- \\(x_{k+1} = x_k + \\alpha_kp_k\\)<\/li>\n
- \\(r_{k+1} = r_k – \\alpha_kAp_k\\)<\/li>\n
- \\(\\|r_{k+1}\\|\/\\|b\\| \\le\\) \u53ce\u675f\u5224\u5b9a\u5024 \u3067\u3042\u308c\u3070\u7d42\u4e86\u3059\u308b<\/li>\n
- \\(\\beta_k = (M^{-1}r_{k+1}, r_{k+1})\/(M^{-1}r_k, r_k)\\)<\/li>\n
- \\(p_{k+1} = M^{-1}r_{k+1} + \\beta_k p_k\\)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n
\u4ed6\u306e\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u6cd5\u306e\u5834\u5408\u3082\u540c\u69d8\u306b\u3057\u3066\u524d\u51e6\u7406\u4ed8\u304d\u306b\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b.<\/p>\n
\u524d\u51e6\u7406\u306b\u306f\u7a2e\u3005\u306e\u65b9\u6cd5\u304c\u8003\u3048\u3089\u308c\u308b\u304c, \u53ce\u675f\u304c\u901f\u304f\u306a\u3063\u3066\u3082\u524d\u51e6\u7406\u306e\u8a08\u7b97\u306b\u6642\u9593\u304c\u304b\u304b\u3063\u3066\u306f\u52b9\u679c\u304c\u306a\u3044\u305f\u3081, \u3042\u308b\u7a0b\u5ea6\u30b7\u30f3\u30d7\u30eb\u306a\u3082\u306e\u304c\u6c42\u3081\u3089\u308c\u308b.<\/p>\n
5.3.7 \u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u524d\u51e6\u7406<\/h3>\n
\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u4ee3\u8868\u7684\u306a\u524d\u51e6\u7406\u3068\u3057\u3066\u306f\u4e0d\u5b8c\u5168\u5206\u89e3\u578b\u306e\u4e0d\u5b8c\u5168\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3\u3068\u884c\u5217\u5206\u96e2\u578b\u306e SSOR \u304c\u3042\u3052\u3089\u308c\u308b. \u4ed6\u306b\u70b9\u30e4\u30b3\u30d3\u524d\u51e6\u7406\u304c\u6709\u52b9\u306a\u3053\u3068\u3082\u3042\u308b.<\/p>\n
5.3.7.1 \u4e0d\u5b8c\u5168\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3<\/h4>\n
CG \u6cd5\u306e\u524d\u51e6\u7406\u3068\u3057\u3066\u306f\u4e0d\u5b8c\u5168\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3 (incomplete Cholesky decomposition) \u304c\u3088\u304f\u4f7f\u308f\u308c\u308b. \u4e0d\u5b8c\u5168\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3\u306b\u3088\u308b\u524d\u51e6\u7406\u4ed8\u304d\u306e CG \u6cd5\u3092 ICCG \u6cd5\u3068\u3088\u3076.<\/p>\n
\u6b63\u5b9a\u5024\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u3092\u4fc2\u6570\u3068\u3059\u308b\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u76f4\u63a5\u89e3\u6cd5\u3067\u306f\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3 \\(A = LDL^T\\) \u304c\u7528\u3044\u3089\u308c\u308b. \u3053\u308c\u3092\u305d\u306e\u307e\u307e\u758e\u884c\u5217\u306b\u9069\u7528\u3059\u308b\u3068, \u3082\u3068\u3082\u3068\u30bc\u30ed\u8981\u7d20\u3060\u3063\u305f\u3068\u3053\u308d\u304c\u30bc\u30ed\u3067\u306a\u304f\u306a\u308a\u5206\u89e3\u7d50\u679c\u306f\u975e\u30bc\u30ed\u8981\u7d20\u6570\u304c\u5897\u3048\u305f\u3082\u306e\u306b\u306a\u3063\u3066\u3057\u307e\u3044 (\u30d5\u30a3\u30eb\u30a4\u30f3\u304c\u751f\u3058\u3066), \u53cd\u5fa9\u6cd5\u306e\u7279\u9577\u304c\u5931\u308f\u308c\u3066\u3057\u307e\u3046. \u3053\u308c\u3092\u907f\u3051\u308b\u305f\u3081\u306b, \u7279\u5b9a\u90e8\u5206\u3060\u3051\u8a08\u7b97\u3057\u3066\u6b8b\u308a\u3092\u5f37\u5236\u7684\u306b\u30bc\u30ed\u306b\u3057\u3066\u975e\u30bc\u30ed\u8981\u7d20\u3092\u6975\u529b\u5897\u3084\u3055\u306a\u3044\u3088\u3046\u306b\u3059\u308b\u306e\u304c\u4e0d\u5b8c\u5168\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
\u3053\u306e\u3088\u3046\u306a\u4e0d\u5b8c\u5168\u306a\u5206\u89e3\u3067\u306f, \u6b63\u3057\u3044\u89e3\u3092\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u306a\u304f\u3066\u3082, \u524d\u51e6\u7406\u306e\u52b9\u679c\u304c\u671f\u5f85\u3067\u304d\u308b.<\/p>\n
\u4e0d\u5b8c\u5168\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3\u3092\u5f0f\u3067\u8868\u3059\u3068\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b.
\n\\[
\nA = LDL^T + R \\space (R \\simeq 0)
\n\\]\n\u3053\u3053\u3067, R \u306f\u5f37\u5236\u7684\u306b 0 \u306b\u3057\u3066\u3057\u307e\u3063\u305f\u90e8\u5206\u306b\u8d77\u56e0\u3059\u308b A \u3068\u306e\u5dee\u5206\u3067\u3042\u308b. \u3053\u306e\u5206\u89e3 \\(LDL^T\\) \u306f\u5b8c\u5168\u3067\u306f\u306a\u3044\u3082\u306e\u306e, R \u304c\u5c0f\u3055\u3051\u308c\u3070\u304b\u306a\u308a\u672c\u7269\u306e\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3\u306b\u8fd1\u3044\u3053\u3068\u304c\u671f\u5f85\u3067\u304d\u308b.<\/p>\n\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217 M \u3068\u3057\u3066\u4e0d\u5b8c\u5168\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3\u3092\u4f7f\u7528\u3059\u308b\u3053\u3068\u306b\u3059\u308b.
\n\\[
\nM = M_1M_2 = (LD^{1\/2})(LD^{1\/2})^T
\n\\]\n\u305d\u3046\u3059\u308b\u3068, \\(M_1^{-1}AM_2^{-1}\\) \u304c\u5358\u4f4d\u884c\u5217\u306b\u8fd1\u3044\u3082\u306e\u306b\u306a\u308a\u53ce\u675f\u304c\u901f\u304f\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u671f\u5f85\u3067\u304d\u308b.<\/p>\n\u3069\u306e\u90e8\u5206\u3092 0 \u306b\u3057\u3066\u3057\u307e\u3046\u304b\u306f\u3044\u308d\u3044\u308d\u306a\u65b9\u6cd5\u304c\u8003\u3048\u3089\u308c, \u305d\u308c\u306b\u3088\u308a ICCG \u6cd5\u3082\u3044\u304f\u3064\u304b\u306e\u30d0\u30ea\u30a8\u30fc\u30b7\u30e7\u30f3\u304c\u3042\u308b. \u9069\u7528\u3059\u308b\u554f\u984c (\u5bfe\u8c61\u3068\u3059\u308b\u884c\u5217\u306e\u69cb\u9020) \u3054\u3068\u306b\u9069\u5207\u306a\u3084\u308a\u65b9\u304c\u5de5\u592b\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b. \u4ee5\u4e0b\u306b\u4ee3\u8868\u7684\u306a\u4f8b\u3092\u793a\u3059.<\/p>\n
(1) \u30d5\u30a3\u30eb\u30a4\u30f3\u306a\u3057\u306e\u65b9\u6cd5 (IC(0))<\/p>\n
\u6700\u3082\u7d20\u6734\u306a\u3084\u308a\u65b9\u3068\u3057\u3066, \u3082\u3068\u3082\u3068 0 \u3060\u3063\u305f\u3068\u3053\u308d\u306f 0 \u306e\u307e\u307e\u306b\u3057\u3066\u30d5\u30a3\u30eb\u30a4\u30f3\u3092\u306a\u304f\u3059\u65b9\u6cd5\u304c\u8003\u3048\u3089\u308c\u308b. \u884c\u5217\u306e\u69cb\u9020\u306b\u4f9d\u5b58\u305b\u305a\u6c4e\u7528\u7684\u306b\u4f7f\u3048\u308b\u65b9\u6cd5\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
(2) \u898f\u5247\u683c\u5b50\u306b\u304a\u3051\u308b ICCG \u6cd5<\/p>\n
\u898f\u5247\u7684\u306a\u9577\u65b9\u5f62\u683c\u5b50\u4e0a\u3067\u69cb\u6210\u3057\u305f\u5dee\u5206\u6cd5\u306e\u5834\u5408, \u884c\u5217\u306f\u898f\u5247\u7684\u306a\u69cb\u9020\u3092\u6301\u3064. 2\u6b21\u5143\u3067 m + 1 \u7b49\u5206\u3057\u305f\u683c\u5b50\u306e\u5834\u5408, \u5bfe\u89d2\u8981\u7d20 \\(a_{i,i}\\) \u306e\u4ed6\u306b\u306f\u96a3 \\(a_{i,i-1}, a_{i,i+1}\\) \u3068\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304b\u3089 m \u96e2\u308c\u305f \\(a_{i,i-m}, a_{i,i+m}\\) \u3060\u3051\u304c\u975e\u30bc\u30ed\u8981\u7d20\u3068\u306a\u308b. \u5b9a\u5e38\u53cd\u5fa9\u6cd5\u306e\u4f8b\u984c\u3068\u3057\u3066\u53d6\u308a\u4e0a\u3052\u305f\u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e 5 \u70b9\u5dee\u5206\u8fd1\u4f3c\u306e\u4fc2\u6570\u884c\u5217\u306f\u305d\u306e\u4e00\u4f8b\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
\u3053\u306e\u69cb\u9020\u306b\u7740\u76ee\u3057\u3066, \u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3\u306e\u5bfe\u8c61\u3092 \\(a_{i,j} (j = i, i\\pm 1, i\\pm m)\\) \u3068\u3057\u3066\u4ed6\u306f 0 \u3068\u3057\u305f\u3082\u306e\u3092 ICCG(1, 1) \u6cd5\u3068\u3044\u3046.<\/p>\n
ICCG(1, 1) \u6cd5\u306b\u5bfe\u3057\u3066\u30b0\u30b9\u30bf\u30d5\u30bd\u30f3\u306e\u4fee\u6b63 \\((x_{i-m+1}, x_{i+m-1}\\) \u306e\u9805\u3092\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u306b\u4fee\u6b63\u3057\u3066\u7cbe\u5ea6\u3092\u4e0a\u3052\u308b\u65b9\u6cd5) \u3092\u52a0\u3048\u305f\u3082\u306e\u3092 MICCG(1, 1) \u6cd5 (Modified ICCG method) \u3068\u3044\u3044, ICCG(1, 1) \u6cd5\u3088\u308a\u53ce\u675f\u304c\u901f\u3044.<\/p>\n
\u3055\u3089\u306b, 1 \u3064\u5185\u5074\u306e\u8981\u7d20\u3082\u5bfe\u8c61, \u3059\u306a\u308f\u3061, \\(a_{i,j} (j = i, i\\pm 1, i\\pm (m-1), i\\pm m)\\) \u3092\u5bfe\u8c61\u3068\u3059\u308b\u65b9\u6cd5\u3092 ICCG(1, 2) \u6cd5\u3068\u3044\u3046. \u3053\u308c\u306b\u30b0\u30b9\u30bf\u30d5\u30bd\u30f3\u306e\u4fee\u6b63\u3092\u52a0\u3048\u305f\u3082\u306e\u304c MICCG(1, 2) \u6cd5\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
5.3.7.2 SSOR (Symmetric successive-over-relaxation) \u524d\u51e6\u7406<\/h4>\n
\u5b9a\u5e38\u53cd\u5fa9\u6cd5\u3067\u7528\u3044\u3089\u308c\u308b\u53cd\u5fa9\u884c\u5217 M \u3092\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217\u3068\u3057\u3066\u7528\u3044\u308b\u65b9\u6cd5\u3092\u884c\u5217\u5206\u96e2\u578b\u524d\u51e6\u7406\u3068\u3044\u3046. \u305d\u306e\u4e2d\u3067\u3082\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306b\u5bfe\u3059\u308b SOR \u6cd5\u306e\u53cd\u5fa9\u884c\u5217\u3092\u7528\u3044\u308b\u306e\u304c SSOR \u524d\u51e6\u7406\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
\u5bfe\u79f0\u306a\u4fc2\u6570\u884c\u5217 A \u3092\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u5206\u89e3\u3059\u308b.
\n\\[
\nA = L + D + L^T
\n\\]\n\u3053\u3053\u3067, \\(L\\) \u306f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304c 0 \u306e\u4e0b\u4e09\u89d2\u884c\u5217, \\(D\\) \u306f\u5bfe\u89d2\u884c\u5217, \\(L^T\\) \u306f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304c 0 \u306e\u4e0a\u4e09\u89d2\u884c\u5217\u3067\u3042\u308b. \u3053\u308c\u306f\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3\u3068\u306f\u9055\u3063\u3066 A \u3092 3 \u3064\u306e\u90e8\u5206\u306b\u5206\u3051\u305f\u3060\u3051 (\u8db3\u3057\u7b97) \u306a\u306e\u3067\u7c21\u5358\u306b\u6c42\u3081\u3089\u308c\u308b. \u3053\u308c\u3092\u4f7f\u3063\u3066\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217\u3092\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b.
\n\\[
\nM(\\omega) = \\frac{1}{2 – \\omega}(\\frac{D}{\\omega} + L)(\\frac{D}{\\omega})^{-1}(\\frac{D}{\\omega} + L)^T
\n\\]\n\u3053\u306e\u65b9\u6cd5\u306f\u8a08\u7b97\u304c\u7c21\u5358\u3067\u3042\u308b\u304c\u52b9\u679c\u304c\u671f\u5f85\u3067\u304d\u308b. \u305f\u3060\u3057, ω \u306f SOR \u6cd5\u3068\u540c\u3058\u3088\u3046\u306b\u52a0\u901f\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf\u3067\u3042\u308b\u304c\u6700\u9069\u306a\u5024\u3092\u524d\u3082\u3063\u3066\u77e5\u308b\u3053\u3068\u306f\u96e3\u3057\u3044\u305f\u3081\u7d4c\u9a13\u7684\u306b\u6c7a\u3081\u308b\u3053\u3068\u306b\u306a\u308b.<\/p>\n5.3.7.3 \u70b9\u30e4\u30b3\u30d3 (Point Jacobi) \u524d\u51e6\u7406<\/h4>\n
\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217 M \u3068\u3057\u3066\u4fc2\u6570\u884c\u5217\u306e\u5bfe\u89d2\u884c\u5217 (\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u3060\u3051\u304b\u3089\u306a\u308b\u6b63\u65b9\u884c\u5217) D \u3092\u7528\u3044\u308b.
\n\\[
\nM = D
\n\\]\n\u6700\u3082\u7c21\u5358\u306a\u524d\u51e6\u7406\u3067\u3042\u308b\u304c, \u554f\u984c\u306b\u3088\u3063\u3066\u306f\u52b9\u679c\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n5.3.7.4 \u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u524d\u51e6\u7406\u306e\u6bd4\u8f03<\/h4>\n
\u6570\u5024\u5b9f\u9a13 (7)<\/h4>\n
\u518d\u3073\u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e 5 \u70b9\u5dee\u5206\u8fd1\u4f3c\u3092\u4f8b\u3068\u3057\u3066, CG\u6cd5, ICCG\u6cd5 (\u30d5\u30a3\u30eb\u30a4\u30f3\u306a\u3057(IC(0))), ICCG(1, 1) \u6cd5, ICCG(1, 2) \u6cd5, MICCG(1, 1) \u6cd5, MICCG(1, 2) \u6cd5, \u304a\u3088\u3073 SSOR \u6cd5 (ω = 1.7) \u306b\u3088\u308a\u6bd4\u8f03\u3059\u308b.<\/p>\n
31\u00d731 \u5206\u5272\u306e 900 \u5143\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f (\u975e\u30bc\u30ed\u8981\u7d20\u6570 = 4380) \u3092\u4f7f\u7528\u3057\u305f. \u6a2a\u8ef8\u306f\u53cd\u5fa9\u56de\u6570, \u7e26\u8ef8\u306f\u6b8b\u5dee\u30ce\u30eb\u30e0 (\u53f3\u8fba\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u306e\u30ce\u30eb\u30e0\u3067\u6b63\u898f\u5316\u3057\u305f\u3082\u306e) \u3067\u3042\u308b. \u53ce\u675f\u6761\u4ef6\u306f, \u6b8b\u5dee\u306e\u76f8\u5bfe\u8aa4\u5dee < \\(10^{-10}\\) \u3068\u3057\u305f. \u306a\u304a, \u3053\u306e\u4f8b\u3067\u306f\u4fc2\u6570\u884c\u5217\u306e\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304c\u305d\u308d\u3063\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067\u70b9\u30e4\u30b3\u30d3\u524d\u51e6\u7406\u306f\u52b9\u679c\u304c\u306a\u3044.\n\n
![\"\"](\"https:\/\/www.ktech.biz\/jp\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2026\/08\/5-2_4_exp5-1.png\")
<\/p>\n\u524d\u51e6\u7406\u3092\u884c\u3046\u3053\u3068\u306b\u3088\u308a, \u53cd\u5fa9\u56de\u6570\u3092\u5c3a\u5ea6\u3068\u3057\u305f\u5834\u5408, \u500d\u4ee5\u4e0a\u901f\u304f\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b. \u3053\u306e\u5834\u5408, IC(0) \u3068 ICCG(1, 1) \u306f\u540c\u3058\u7d50\u679c\u306b\u306a\u308b.<\/p>\n
\u540c\u3058\u524d\u51e6\u7406\u306f MINRES \u6cd5\u304a\u3088\u3073 SYMMLQ \u6cd5\u306b\u3082\u9069\u7528\u3067\u304d, CG \u6cd5\u3068\u540c\u69d8\u306e\u50be\u5411\u3092\u793a\u3057\u305f.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.ktech.biz\/jp\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2026\/08\/5-2_4_exp5-2.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.ktech.biz\/jp\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2026\/08\/5-2_4_exp5-3.png\")
<\/p>\n\u6570\u5024\u5b9f\u9a13 (8)<\/h4>\n
\u6b21\u306b, \u540c\u3058\u4f8b\u984c\u3067 SSOR \u524d\u51e6\u7406\u4ed8\u304d CG \u6cd5\u306b\u304a\u3044\u3066, ω \u3092\u5909\u5316\u3055\u305b\u305f\u3068\u304d\u306b\u3069\u3046\u306a\u308b\u304b\u78ba\u8a8d\u3059\u308b.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.ktech.biz\/jp\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2026\/08\/5-2_4_exp6.png\")
<\/p>\n\u3053\u306e\u4f8b\u3067\u306f ω \u306e\u5024\u306b\u305d\u308c\u307b\u3069\u654f\u611f\u3067\u306f\u306a\u3044.<\/p>\n
5.3.8 \u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u524d\u51e6\u7406<\/h3>\n
\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u4ee3\u8868\u7684\u306a\u524d\u51e6\u7406\u3068\u3057\u3066\u306f\u4e0d\u5b8c\u5168\u5206\u89e3\u578b\u306e\u4e0d\u5b8c\u5168 LU \u5206\u89e3, \u884c\u5217\u5206\u96e2\u578b\u306e SSOR, \u304a\u3088\u3073\u70b9\u30e4\u30b3\u30d3\u524d\u51e6\u7406\u304c\u3042\u3052\u3089\u308c\u308b.<\/p>\n
5.3.8.1 \u4e0d\u5b8c\u5168 LU \u5206\u89e3 (ILU) \u306b\u3088\u308b\u524d\u51e6\u7406<\/h4>\n
\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u3092\u4fc2\u6570\u3068\u3059\u308b\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u76f4\u63a5\u89e3\u6cd5\u3067\u306f LU \u5206\u89e3 A = LU \u304c\u7528\u3044\u3089\u308c\u308b. \u3053\u308c\u3092\u305d\u306e\u307e\u307e\u758e\u884c\u5217\u306b\u9069\u7528\u3059\u308b\u3068, \u3082\u3068\u3082\u3068\u30bc\u30ed\u8981\u7d20\u3060\u3063\u305f\u3068\u3053\u308d\u304c\u30bc\u30ed\u3067\u306a\u304f\u306a\u308a\u5206\u89e3\u7d50\u679c\u306f\u975e\u30bc\u30ed\u8981\u7d20\u6570\u304c\u5897\u3048\u305f\u3082\u306e\u306b\u306a\u3063\u3066\u3057\u307e\u3046 (\u30d5\u30a3\u30eb\u30a4\u30f3\u304c\u751f\u3058\u308b). \u3053\u308c\u3092\u907f\u3051\u308b\u305f\u3081\u306b, \u7279\u5b9a\u90e8\u5206\u3060\u3051\u8a08\u7b97\u3057\u3066\u6b8b\u308a\u3092\u5f37\u5236\u7684\u306b\u30bc\u30ed\u306b\u3057\u3066\u975e\u30bc\u30ed\u8981\u7d20\u3092\u6975\u529b\u5897\u3084\u3055\u306a\u3044\u3088\u3046\u306b\u3059\u308b\u306e\u304c\u4e0d\u5b8c\u5168 LU \u5206\u89e3 (ILU \u5206\u89e3)\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
ILU \u5206\u89e3\u306f\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u4e0d\u5b8c\u5168\u30b3\u30ec\u30b9\u30ad\u30fc\u5206\u89e3\u306b\u76f8\u5f53\u3059\u308b\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u524d\u51e6\u7406\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
ILU \u5206\u89e3\u3092\u5f0f\u3067\u8868\u3059\u3068\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b.
\n\\[
\nA = LU + R \\space (R \\simeq 0)
\n\\]\n\u3053\u3053\u3067, R \u306f\u5f37\u5236\u7684\u306b 0 \u306b\u3057\u3066\u3057\u307e\u3063\u305f\u90e8\u5206\u306b\u8d77\u56e0\u3059\u308b A \u3068\u306e\u5dee\u5206\u3067\u3042\u308b. \u3053\u306e LU \u5206\u89e3\u306f\u5b8c\u5168\u3067\u306f\u306a\u3044\u3082\u306e\u306e, R \u304c\u5c0f\u3055\u3051\u308c\u3070\u304b\u306a\u308a\u672c\u7269\u306e LU \u5206\u89e3\u306b\u8fd1\u3044\u3053\u3068\u304c\u671f\u5f85\u3067\u304d\u308b.<\/p>\n\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217 M \u3068\u3057\u3066 ILU \u5206\u89e3\u3092\u4f7f\u7528\u3059\u308b\u3053\u3068\u306b\u3059\u308b.
\n\\[
\nM = LU
\n\\]\n\u3069\u306e\u90e8\u5206\u3092 0 \u306b\u3057\u3066\u3057\u307e\u3046\u304b\u306f\u3044\u308d\u3044\u308d\u306a\u65b9\u6cd5\u304c\u8003\u3048\u3089\u308c, \u3044\u304f\u3064\u304b\u306e\u30d0\u30ea\u30a8\u30fc\u30b7\u30e7\u30f3\u304c\u3042\u308b. \u9069\u7528\u3059\u308b\u554f\u984c (\u5bfe\u8c61\u3068\u3059\u308b\u884c\u5217\u306e\u69cb\u9020) \u3054\u3068\u306b\u9069\u5207\u306a\u3084\u308a\u65b9\u304c\u5de5\u592b\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b. \u4ee5\u4e0b\u306b\u4ee3\u8868\u7684\u306a\u4f8b\u3092\u793a\u3059.<\/p>\n
(1) \u30d5\u30a3\u30eb\u30a4\u30f3\u306a\u3057\u306e\u65b9\u6cd5 (ILU(0))<\/p>\n
\u6700\u3082\u7d20\u6734\u306a\u3084\u308a\u65b9\u3068\u3057\u3066, \u3082\u3068\u3082\u3068 0 \u3060\u3063\u305f\u3068\u3053\u308d\u306f 0 \u306e\u307e\u307e\u306b\u3057\u3066\u30d5\u30a3\u30eb\u30a4\u30f3\u3092\u306a\u304f\u3059\u65b9\u6cd5\u304c\u8003\u3048\u3089\u308c\u308b. \u884c\u5217\u306e\u69cb\u9020\u306b\u4f9d\u5b58\u305b\u305a\u6c4e\u7528\u7684\u306b\u4f7f\u3048\u308b\u65b9\u6cd5\u3067\u3042\u308b. \u5f37\u5236\u7684\u306b 0 \u306b\u3057\u305f\u5206\u306e\u5024\u3092\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u306b\u88dc\u6b63\u3092\u52a0\u3048\u308b\u65b9\u6cd5\u3092\u4fee\u6b63 ILU (MILU) \u524d\u51e6\u7406\u3068\u3088\u3073, \u884c\u5217\u306e\u69cb\u9020\u306b\u3088\u3063\u3066\u306f\u6709\u52b9\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
(2) \u30d5\u30a3\u30eb\u30a4\u30f3\u3092\u8a31\u3059\u65b9\u6cd5 (\u30ec\u30d9\u30eb\u6307\u5b9a) (ILU(p))<\/p>\n
\u4fc2\u6570\u884c\u5217 A \u306e\u305d\u308c\u305e\u308c\u306e\u8981\u7d20 \\(a_{ij}\\) \u306b\u30ec\u30d9\u30eb \\(L_{ij}\\) \u3092\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b. \u8981\u7d20\u306e\u5024\u304c\u5c0f\u3055\u3051\u308c\u3070\u30ec\u30d9\u30eb\u306f\u5927\u304d\u304f, \u8981\u7d20\u306e\u5024\u304c\u5927\u304d\u3051\u308c\u3070\u30ec\u30d9\u30eb\u306f\u5c0f\u3055\u304f\u306a\u308b\u3082\u306e\u3068\u3059\u308b. \u6700\u521d\u306f \\(a_{ij} \\ne 0\\) \u3067\u3042\u308c\u3070 \\(L_{ij} = 0\\), \\(a_{ij} = 0\\) \u3067\u3042\u308c\u3070 \\(L_{ij} = \\infty\\) \u3068\u3059\u308b. ILU \u5206\u89e3\u306e\u9014\u4e2d\u3067 \\(a_{ij} = a_{ij} – a_{ik} a_{kj}\\) \u3068\u3044\u3046\u8a08\u7b97\u3092\u884c\u3046\u304c, \u3053\u306e\u3068\u304d\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b \\(a_{ij}\\) \u306e\u30ec\u30d9\u30eb\u3092\u66f4\u65b0\u3059\u308b.
\n\\[
\nL_{ij} = min(L_{ij}, L_{ik} + L_{kj})
\n\\]\n\u3053\u306e\u3088\u3046\u306b\u3059\u308b\u3068\u6700\u521d\u306b 0 \u3067\u306a\u304b\u3063\u305f\u8981\u7d20\u306e\u30ec\u30d9\u30eb\u306f\u5206\u89e3\u7d42\u4e86\u6642\u306b\u3082 0 \u306e\u307e\u307e\u3067\u3042\u308b.<\/p>\nILU(p) \u524d\u51e6\u7406\u3067\u306f\u5206\u89e3\u7d42\u4e86\u6642\u306b p \u3088\u308a\u5927\u304d\u3044\u30ec\u30d9\u30eb\u306e\u8981\u7d20\u3092 0 \u306b\u3059\u308b. p = 0 \u3068\u3059\u308b\u3068 ILU(0) \u306b\u4e00\u81f4\u3059\u308b.<\/p>\n
(3) \u30d5\u30a3\u30eb\u30a4\u30f3\u3092\u8a31\u3059\u65b9\u6cd5 (\u3057\u304d\u3044\u5024\u6307\u5b9a) (ILUT)<\/p>\n
ILU(p) \u3067\u306f\u304a\u304a\u3080\u306d\u5927\u304d\u3044\u8981\u7d20\u3092\u6b8b\u3057\u5c0f\u3055\u3044\u8981\u7d20\u3092\u6368\u3066\u308b\u65b9\u91dd\u3067\u3042\u308b\u304c, \u57fa\u6e96\u306b\u3057\u3066\u3044\u308b\u306e\u306f\u884c\u5217\u306e\u69cb\u9020\u3067\u3042\u308a\u8981\u7d20\u306e\u5024\u306f\u898b\u3066\u3044\u306a\u3044. \u305d\u3053\u3067\u8981\u7d20\u306e\u5024\u304c\u5927\u304d\u3044\u304b\u3069\u3046\u304b\u3092\u76f4\u63a5\u898b\u3066\u5224\u65ad\u3059\u308b\u65b9\u6cd5\u304c\u8003\u3048\u3089\u308c\u3001\u305d\u308c\u306b\u306f\u7a2e\u3005\u306e\u3084\u308a\u65b9\u304c\u8003\u3048\u3089\u308c\u308b.<\/p>\n
\u4f8b\u3048\u3070, \u57fa\u672c\u7684\u306b\u306f τ \u3088\u308a\u5927\u304d\u306a\u5024\u306e\u8981\u7d20\u3092\u6b8b\u3059\u3053\u3068\u306b\u3059\u308b\u304c, \u6700\u4f4e\u3067\u3082\u3082\u3068\u3082\u3068 0 \u3067\u306a\u304b\u3063\u305f\u8981\u7d20\u306f\u6b8b\u3057 (\u3059\u306a\u308f\u3061, \u6700\u4f4e\u3067\u3082 ILU(0) \u306b\u76f8\u5f53), \u5404\u884c\u3042\u305f\u308a\u306e\u6b8b\u3059\u8981\u7d20\u6570\u306e\u4e0a\u9650\u3092\u3082\u3068\u3082\u3068 0 \u3067\u306a\u304b\u3063\u305f\u8981\u7d20 + \u5927\u304d\u3044\u65b9\u304b\u3089 p \u500b\u3068\u3059\u308b (\u30d5\u30a3\u30eb\u30a4\u30f3\u304c\u591a\u304f\u306a\u308a\u904e\u304e\u306a\u3044\u3088\u3046\u306b\u5236\u9650\u3059\u308b). \u3053\u308c\u306f ILUT(τ, p) \u3068\u3088\u3070\u308c\u308b.<\/p>\n
ILU \u5206\u89e3\u306f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304c 0 \u3060\u3068\u5931\u6557\u3059\u308b. \u307e\u305f, \u6761\u4ef6\u304c\u60aa\u3044\u884c\u5217\u3067\u306f\u4e0d\u5b89\u5b9a\u306b\u306a\u308b. \u305d\u3053\u3067, \u884c\u4ea4\u63db\u3092\u884c\u3046\u65b9\u6cd5\u304c\u8003\u3048\u3089\u308c\u308b. \u3053\u308c\u306f ILUTP \u3068\u3088\u3070\u308c\u308b (P \u306f pivoting \u3092\u8868\u3059).<\/p>\n
5.3.8.2 SSOR (Symmetric successive-over-relaxation) \u524d\u51e6\u7406<\/h4>\n
\u5b9a\u5e38\u53cd\u5fa9\u6cd5\u3067\u7528\u3044\u3089\u308c\u308b\u53cd\u5fa9\u884c\u5217 M \u3092\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217\u3068\u3057\u3066\u7528\u3044\u308b\u65b9\u6cd5\u3092\u884c\u5217\u5206\u96e2\u578b\u524d\u51e6\u7406\u3068\u3044\u3046. \u305d\u306e\u4e2d\u3067\u3082\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306b\u5bfe\u3059\u308b SOR \u6cd5\u306e\u53cd\u5fa9\u884c\u5217\u3092\u7528\u3044\u308b\u306e\u304c SSOR \u524d\u51e6\u7406\u3067\u3042\u308b. \u3053\u306e\u65b9\u6cd5\u306f\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u524d\u51e6\u7406\u7cfb\u3068\u3057\u3066\u4f7f\u7528\u3055\u308c\u308b\u304c, \u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306b\u3082\u4f7f\u7528\u3067\u304d\u308b.<\/p>\n
\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217 A \u3092\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u5206\u89e3\u3059\u308b.
\n\\[
\nA = L + D + U
\n\\]\n\u3053\u3053\u3067, L \u306f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304c 0 \u306e\u4e0b\u4e09\u89d2\u884c\u5217, D \u306f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u3060\u3051\u304b\u3089\u306a\u308b\u884c\u5217 (\u5bfe\u89d2\u884c\u5217), U \u306f\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u304c 0 \u306e\u4e0a\u4e09\u89d2\u884c\u5217\u3067\u3042\u308b. \u3053\u308c\u306f LU \u5206\u89e3\u3068\u306f\u9055\u3063\u3066 A \u3092 3 \u3064\u306e\u90e8\u5206\u306b\u5206\u3051\u305f\u3060\u3051 (\u8db3\u3057\u7b97) \u306a\u306e\u3067\u7c21\u5358\u306b\u6c42\u3081\u3089\u308c\u308b. \u3053\u308c\u3092\u4f7f\u3063\u3066\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217\u3092\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b.
\n\\[
\nM(\\omega) = (I + \\omega LD^{-1}) \\frac{1}{\\omega (2 – \\omega)} D(I + \\omega D^{-1}U)
\n\\]\n\u3053\u306e\u65b9\u6cd5\u306f\u8a08\u7b97\u304c\u7c21\u5358\u3067\u3042\u308b\u304c\u52b9\u679c\u304c\u671f\u5f85\u3067\u304d\u308b. \u305f\u3060\u3057, ω \u306f SOR \u6cd5\u3068\u540c\u3058\u3088\u3046\u306b\u52a0\u901f\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf\u3067\u3042\u308b\u304c\u6700\u9069\u306a\u5024\u3092\u524d\u3082\u3063\u3066\u77e5\u308b\u3053\u3068\u306f\u96e3\u3057\u3044\u305f\u3081\u7d4c\u9a13\u5024\u3092\u4f7f\u3046\u3053\u3068\u306b\u306a\u308b.<\/p>\n5.3.8.3 \u70b9\u30e4\u30b3\u30d3 (Point Jacobi) \u524d\u51e6\u7406<\/h3>\n
\u524d\u51e6\u7406\u884c\u5217 M \u3068\u3057\u3066\u4fc2\u6570\u884c\u5217\u306e\u5bfe\u89d2\u884c\u5217 (\u5bfe\u89d2\u8981\u7d20\u3060\u3051\u304b\u3089\u306a\u308b\u6b63\u65b9\u884c\u5217) D \u3092\u7528\u3044\u308b.
\n\\[
\n M = D
\n\\]\n\u6700\u3082\u7c21\u5358\u306a\u524d\u51e6\u7406\u3067\u3042\u308b\u304c, \u554f\u984c\u306b\u3088\u3063\u3066\u306f\u52b9\u679c\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n5.3.8.4 \u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u524d\u51e6\u7406\u306e\u6bd4\u8f03<\/h4>\n
\u6570\u5024\u5b9f\u9a13 (9) SSOR \u524d\u51e6\u7406\u304a\u3088\u3073 ILU(p) \u524d\u51e6\u7406\u306e\u52b9\u679c<\/h4>\n
\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u4f8b\u984c (N = 31) \u306e\u5dee\u5206\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u89e3\u304f.<\/p>\n
GMRES \u306b\u304a\u3051\u308b SSOR \u524d\u51e6\u7406\u304a\u3088\u3073 ILU(p) \u524d\u51e6\u7406\u306e\u52b9\u679c\u3092\u6bd4\u8f03\u3059\u308b.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.ktech.biz\/jp\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2026\/08\/5-3_5_exp9.png\")
<\/p>\n\u524d\u51e6\u7406\u306e\u52b9\u679c\u306f\u5927\u304d\u304f, \u53ce\u675f\u306b 100 \u56de\u304b\u304b\u3063\u3066\u3044\u305f\u306e\u304c 16 \uff5e 37 \u56de\u3067\u53ce\u675f\u3059\u308b\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b. \u305f\u3060\u3057, SSOR \u524d\u51e6\u7406\u306f\u6bd4\u8f03\u7684\u8a08\u7b97\u304c\u7c21\u5358\u306a\u306e\u306b\u5bfe\u3057 ILU \u524d\u51e6\u7406\u3067\u306f\u5206\u89e3\u306b\u305d\u308c\u306a\u308a\u306e\u6642\u9593\u304c\u304b\u304b\u308b\u305f\u3081, \u30c8\u30fc\u30bf\u30eb\u306e\u8a08\u7b97\u6642\u9593\u3092\u5206\u6790\u3057\u3066\u307f\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b.<\/p>\n
\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u306e\u5834\u5408\u3082\u540c\u69d8\u3067\u3042\u308b\u304c, \u758e\u884c\u5217\u306e\u9023\u7acb\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3067\u306f\u89e3\u6cd5\u306e\u9078\u629e\u3082\u91cd\u8981\u3067\u3042\u308b\u304c, \u53ce\u675f\u6027\u304c\u524d\u51e6\u7406\u306b\u5927\u304d\u304f\u4f9d\u5b58\u3059\u308b\u3068\u3053\u308d\u304c\u3042\u308b\u306e\u3067\u554f\u984c\u306b\u5fdc\u3058\u3066\u9069\u5207\u306a\u524d\u51e6\u7406\u3092\u9078\u629e\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u91cd\u8981\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n
\u6570\u5024\u5b9f\u9a13 (10) \u524d\u51e6\u7406\u65b9\u5f0f\u306e\u6bd4\u8f03<\/h4>\n
\u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u524d\u51e6\u7406\u3067\u306f\u5206\u96e2\u524d\u51e6\u7406, \u53f3\u524d\u51e6\u7406, \u304a\u3088\u3073, \u5de6\u524d\u51e6\u7406\u304c\u3042\u308b\u304c, \u3053\u308c\u3089\u306e\u53ce\u675f\u6027\u306b\u3069\u306e\u7a0b\u5ea6\u306e\u9055\u3044\u304c\u3042\u308b\u304b\u78ba\u8a8d\u3059\u308b.<\/p>\n
GMRES \u6cd5\u306b ILU(0) \u524d\u51e6\u7406\u3092\u9069\u7528\u3057\u3066, \u975e\u5bfe\u79f0\u884c\u5217\u7528\u306e\u30dd\u30a2\u30bd\u30f3\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u4f8b\u984c (N = 31) \u306e\u5dee\u5206\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u89e3\u304f.<\/p>\n
\u5206\u96e2\u524d\u51e6\u7406\u3067\u306f \\(M = M_1 M_2 = LU\\), \u53f3\u524d\u51e6\u7406\u3067\u306f \\(M_2 = LU\\), \u5de6\u524d\u51e6\u7406\u3067\u306f \\(M_1 = LU\\) \u3068\u3059\u308b.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.ktech.biz\/jp\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2026\/08\/5-3_5_exp10.png\")
<\/p>\n\u3053\u306e\u4f8b\u3067\u306f\u307b\u3068\u3093\u3069\u5dee\u304c\u306a\u3044\u3053\u3068\u304c\u78ba\u8a8d\u3055\u308c\u305f. \u4e00\u822c\u7684\u306b\u306f\u6b8b\u5dee\u306e\u5927\u304d\u3055\u304c\u5909\u308f\u3089\u306a\u3044\u53f3\u524d\u51e6\u7406\u3092\u4f7f\u3046.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
n \u00d7 n \u6b63\u5247\u884c\u5217 A \u3068\u975e\u30bc\u30ed\u30d9\u30af\u30c8\u30eb u \u306e\u7a4d\u306b\u3088\u308a\u751f\u6210\u3055\u308c\u308b\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u3067\u5f35\u3089\u308c\u308b\u7a7a\u9593 \\(K_{k+1}(A; u)\\) \u3092\u30af\u30ea\u30ed\u30d5\u90e8\u5206\u7a7a\u9593\u3068\u3088\u3076. \\[ K_{k+1}(A; u) = span(u, Au, & […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"footnotes":""},"categories":[13],"tags":[],"class_list":["post-3480","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-num"],"aioseo_notices":[],"aioseo_head":"\n\t\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\t
- \\(\\beta_1 = \\|u\\|, v_0 = 0, v_1 = u \/ \\beta_1\\) \u3068\u3057, \u4ee5\u4e0b\u3092 \\(k = 1, 2, \\dots\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u7e70\u308a\u8fd4\u3059\n