_dgebak _dgebal _dgehrd _dhsein _dhseqr _dorghr _dormhr _dtrevc3 _dtrexc _dtrsen _dtrsna _dtrsyl

_dtrsna() void _dtrsna ( char  job, char  howmny, int  select[], int  n, int  ldt, double  t[], int  ldvl, double  vl[], int  ldvr, double  vr[], double  s[], double  sep[], int  mm, int *  m, double  work[], int  lwork, int  iwork[], int  liwork, int *  info  ) 上準三角行列の固有値・固有ベクトルの条件数 目的 本ルーチンは実上準三角行列 T (あるいは任意の Q*T*Q^T, ただし Q は直交行列) の指定された固有値および／または右固有ベクトルの条件数の逆数を推定する. T は(dhseqr が返すように)シュール正準形でなければならない. すなわち, 1 x 1 および 2 x 2 対角ブロックよりなるブロック上三角行列でなければならない. 2 x 2 対角ブロックそれぞれにおいて, 対角要素は同符号, 副対角要素は反対符号である. 引数 [in] job 固有値の条件数(s)あるいは固有ベクトルの条件数(sep)が必要かどうか指定する. = 'E': 固有値についてのみ求める(s). = 'V': 固有ベクトルについてのみ求める(sep). = 'B': 固有値と固有ベクトルの両方について求める(s および sep). [in] howmny = 'A': すべての固有ペアについて条件数を求める. = 'S': 配列 select[] により指定された一部の固有ペアについて条件数を求める. [in,out] select[] 配列 select[lselect] (lselect >= n) howmny = 'S' の場合, select[] は条件数を求める固有値ペアを指定する. 実数固有値 w[j] に対応する固有値ペアの条件数を選択するためには select[j] を true に設定しなければならない. 共役複素対の固有値 w[j] および w[j+1] に対応する条件数を選択するためには select[j] または select[j+1] のどちらかまたは両方を true に設定しなければならない. howmny = 'A' の場合, select[] は参照されない. [in] n 行列 T の行および列数. (n >= 0) (n = 0 の場合, 処理を行わずに戻る) [in] ldt 二次元配列 t[][] の整合寸法. (ldt >= max(1, n)) [in] t[][] 配列 t[lt][ldt] (lt >= n) シュール正準形の上準三角行列 T. [in] ldvl 二次元配列 vl[][] の整合寸法. (ldvl >= 1 (job = 'V'), ldvl >= n (job = 'E' または 'B')) [in] vl[][] 配列 vl[lvl][ldvl] (lvl >= mm) job = 'E' または 'B' の場合, vl[][] には howmny および select[] で指定された固有値ペアに対応する T (あるいは任意の Q*T*Q^T, ただし Q は直交行列) の左固有ベクトルを入れる. dhsein または dtrevc が返すように固有ベクトルは vl[][] の連続した行に格納されていること. job = 'V' の場合, vl[][] は参照されない. [in] ldvr 二次元配列 vr[][] の整合寸法. (ldvr >= 1 (job = 'V'), ldvr >= n (job = 'E' または 'B')) [in] vr[][] 配列 vr[lvr][ldvr] (lvr >= mm) job = 'E' または 'B' の場合, vr[][] には howmny および select[] で指定された固有値ペアに対応する T (あるいは任意の Q*T*Q^T, ただし Q は直交行列) の右固有ベクトルを入れる. dhsein または dtrevc が返すように固有ベクトルは vr[][] の連続した行に格納されていること. job = 'V' の場合, vr[][] は参照されない. [out] s[] 配列 s[ls] (ls >= mm) job = 'E' または 'B' の場合, 指定された固有値の条件数の逆数. 配列の連続した要素に格納される. 共役複素対をなす固有値については s[] の連続した 2 つの要素が同じ値に設定される. 従って, s[j], sep[j], および vl[][] と vr[][] の j 行はすべて同じ固有値ペアに対応する(しかし, すべての固有値ペアが選択されていない限り, 一般的には j 番目の固有値ペアではない). job = 'V' の場合, s[] は参照されない. [out] sep[] 配列 sep[lsep] (lsep >= mm) job = 'V' または 'B' の場合, 指定された固有ベクトルの条件数の逆数. 配列の連続した要素に格納される. 共役複素対をなす固有値については sep[] の連続した 2 つの要素が同じ値に設定される. sep[j] を計算するために固有値を並べ直すことができない場合, sep[j] = 0 と設定される. ちなみに, これは真の値が非常に小さいときにしか起こりえない. job = 'E' の場合, sep[] は参照されない. [in] mm 配列 s[] (job = 'E' または 'B' の場合) および／または sep[] (job = 'V' または 'B' の場合) の要素数. (mm >= m) [out] m 配列 s[] および／または sep[] の実際に条件数を格納するために使われた要素数. howmny = 'A' の場合, m = n と設定される.. [out] work[] 配列 work[lwork] 作業領域. job = 'E' の場合, work[] は参照されない. [in] lwork 配列 work[] のサイズ (lwork >= n*(n + 6) (job = 'V' または 'B' の場合)) [out] iwork[] 配列 iwork[liwork] 整数作業領域. job = 'E' の場合, iwork[] は参照されない. [in] liwork 配列 iwork[] のサイズ (liwork >= 2*(n - 1) (job = 'V' または 'B' の場合)) [out] info = 0: 正常終了 = -1: 入力パラメータ job の誤り (job != 'E', 'V' および 'B') = -2: 入力パラメータ howmny の誤り (howmny != 'A' および 'S') = -4: 入力パラメータ n の誤り (n < 0) = -5: 入力パラメータ ldt の誤り (ldt < max(1, n)) = -7: 入力パラメータ ldvl の誤り (ldvl が小さすぎる) = -9: 入力パラメータ ldvr の誤り (ldvr が小さすぎる) = -13: 入力パラメータ mm の誤り (mm < m) = -16: 入力パラメータ lwork の誤り (lwork が小さすぎる) = -18: 入力パラメータ liork の誤り (liwork が小さすぎる) 詳細 固有値 lambda の条件数の逆数は次のように定義される. s(lambda) = |v^T*u| / (norm(u)*norm(v)) ここで, u および v は T の lambda に対応する右および左固有ベクトルである. v^T は v の転置を表す. norm(u) はユークリッドノルムを表す. これらの条件数の逆数は常に 0 (非常に悪条件) と 1 (非常に好条件) の間にある. n = 1 の場合, s(lambda) は 1 と定義される. 固有値 w(i) の計算値の近似誤差限界は次のように与えられる. eps * norm(T) / s(i) ここで, eps はマシン・イプシロンである. lambda に対応する右固有ベクトル u の条件数の逆数は以下のように定義される. 次のように仮定する. T = ( lambda c ) ( 0 T22 ) そうすると条件数の逆数は次のようになる. sep( lambda, T22 ) = sigma-min( T22 - lambda*I ) ここで, sigma-min は最小の特異値を表す. 最小の特異値を 1/(T22 - lambda*I) の1-ノルムの推定値の逆数で近似する. n = 1 の場合, sep(1) は abs(T(1,1)) と定義される. 右固有ベクトル vr(i) の計算値の近似誤差限界は次のように与えられる. eps * norm(T) / sep(i) 出典 LAPACK