◆ Zhetrf()

Sub Zhetrf	(	Uplo As	String,
		N As	Long,
		A() As	Complex,
		IPiv() As	Long,
		Info As	Long
	)

係数行列のUDU^HまたはLDL^H分解 (エルミート行列)

目的: 本ルーチンはBunch-Kaufmanの対角ピボット法を用いてエルミート行列Aの分解を計算する. 分解は次の形式である.
A = U*D*U^H or A = L*D*L^H

ここで, U(またはL)は置換行列と対角要素が1の上(または下)三角行列の積, そして, Dは1×1または2×2対角ブロックよりなる対称なブロック対角行列である.
本ルーチンはLevel 3 BLASを呼び出すブロック版のアルゴリズムを使用する.

引数

[in]	Uplo	= "U": Aの上三角部分を格納. = "L": Aの下三角部分を格納.
[in]	N	行列Aの行および列数. (N >= 0) (N = 0 の場合, 処理を行わずに戻る)
[in,out]	A()	配列 A(LA1 - 1, LA2 - 1) (LA1 >= N, LA2 >= N) [in] N×Nエルミート行列 A. Uploに従い上三角部分あるいは下三角部分が参照される. [out] UまたはLを得るために使われるブロック対角行列Dおよび乗数 (詳細は下記参照).
[in,out]	IPiv()	配列 IPiv(LIPiv - 1) (LIPiv >= N) 行および列の交換とDのブロック構造の情報. IPiv(k-1) > 0であれば, 第k行および列が第IPiv(k-1)行および列と交換され, Dの第k対角が1×1対角ブロックであることを表す. Uplo = "U"でIPiv(k-1) = IPiv(k-2) < 0であれば, 第k-1行および列が第-IPiv(k-1)行および列と交換され, Dの第k-1対角が2×2対角ブロックであることを表す. Uplo = "L"でIPiv(k-1) = IPiv(k) < 0であれば, 第k+1行および列が第-IPiv(k-1)行および列と交換され, Dの第k対角が2×2対角ブロックであることを表す.
[out]	Info	= 0: 正常終了. = -1: パラメータ Uplo の誤り. (Uplo != "U"および"L") = -2: パラメータ N の誤り. (N < 0) = -3: パラメータ A() の誤り. = -4: パラメータ IPiv() の誤り. = i > 0: Dのi番目の対角要素が0である. 分解を完了したがブロック対角行列Dが特異であり, 連立方程式の解の計算に使用すると0による除算が発生する.

詳細: Uplo = "U"の場合, A = U*D*U^H である. ただし,
U = P(n)*U(n)* ... *P(k)U(k)* ...,

である. すなわち, Uは項P(k)*U(k)の積である. ここで, kは1あるいは2ごとにnから1までとする. Dはブロック対角行列で, 1×1あるいは2×2対角ブロックよりなる. P(k)はIPiv(k-1)により定義される置換行列である. U(k)は対角要素が1の上三角行列であり, 対角ブロックD(k)の次数をs(s = 1あるいは2)とすると次のようになる.
( I v 0 ) k-s

U(k) = ( 0 I 0 ) s

( 0 0 I ) n-k

k-s s n-k

s = 1の場合, D(k)がA(k-1, k-1)を上書きし, vがA(0〜k-2, k-1)を上書きする.
s = 2の場合, D(k)の上三角部分がA(k-2, k-2), A(k-2, k-1)およびA(k-1, k-1)を上書きし, vがA(0〜k-3, k-2〜k-1)を上書きする.

Uplo = "L"の場合, A = L*D*L^H である. ただし,
L = P(1)*L(1)* ... *P(k)*L(k)* ...,

である. すなわち, Lは項P(k)*L(k)の積である. ここで, kは1あるいは2ごとに1からnまでとする. Dはブロック対角行列で, 1×1あるいは2×2対角ブロックよりなる. P(k)はIPiv(k-1)により定義される置換行列である. L(k)は対角要素が1の下三角行列であり, 対角ブロックD(k)の次数をs(s = 1あるいは2)とすると次のようになる.
( I 0 0 ) k-1

L(k) = ( 0 I 0 ) s

( 0 v I ) n-k-s+1

k-1 s n-k-s+1

s = 1の場合, D(k)がA(k-1, k-1)を上書きし, vがA(k〜n-1, k-1)を上書きする.
s = 2の場合, D(k)の上三角部分がA(k-1, k-1), A(k-1, k)およびA(k, k)を上書きし, vがA(k+1〜n-1, k-1〜k)を上書きする.

出典: LAPACK

使用例: 連立一次方程式 Ax = B を解き, 同時にAの条件数の逆数の推定値(RCond)を求める. ただし,
( 0.20 -0.11+0.93i 0.81-0.37i )

A = ( -0.11-0.93i -0.32 -0.80+0.92i )

( 0.81+0.37i -0.80-0.92i -0.29 )

( -0.1220+0.1844i )

B = ( 0.0034-0.4346i )

( 0.5339-0.1571i )

とする.
Sub Ex_Zhetrf()

Const N As Long = 3

Dim A(N - 1, N - 1) As Complex, B(N - 1) As Complex, IPiv(N - 1) As Long

Dim ANorm As Double, RCond As Double, Info As Long

A(0, 0) = Cmplx(0.2, 0)

A(1, 0) = Cmplx(-0.11, -0.93): A(1, 1) = Cmplx(-0.32, 0)

A(2, 0) = Cmplx(0.81, 0.37): A(2, 1) = Cmplx(-0.8, -0.92): A(2, 2) = Cmplx(-0.29, 0)

B(0) = Cmplx(-0.122, 0.1844): B(1) = Cmplx(0.0034, -0.4346): B(2) = Cmplx(0.5339, -0.1571)

ANorm = Zlanhe("1", "L", N, A())

Call Zhetrf("L", N, A(), IPiv(), Info)

If Info = 0 Then Call Zhetrs("L", N, A(), IPiv(), B(), Info)

If Info = 0 Then Call Zhecon("L", N, A(), IPiv(), ANorm, RCond, Info)

Debug.Print "X =",

Debug.Print Creal(B(0)), Cimag(B(0)), Creal(B(1)), Cimag(B(1)), Creal(B(2)), Cimag(B(2))

Debug.Print "RCond =", RCond

Debug.Print "Info =", Info

End Sub

実行結果: X = 0.86 0.64 0.51 0.71 0.590000000000001 -0.15

RCond = 4.46158691608911E-02

Info = 0