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◆ Dopri5_r()
| Sub Dopri5_r |
( |
N As |
Long, |
|
|
T As |
Double, |
|
|
Y() As |
Double, |
|
|
Tout As |
Double, |
|
|
RTol() As |
Double, |
|
|
ATol() As |
Double, |
|
|
RCont() As |
Double, |
|
|
ICont() As |
Long, |
|
|
Info As |
Long, |
|
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TT As |
Double, |
|
|
YY() As |
Double, |
|
|
YYp() As |
Double, |
|
|
Irtrn As |
Long, |
|
|
IRev As |
Long, |
|
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Optional Iout As |
Long = 0, |
|
|
Optional Neval As |
Long, |
|
|
Optional Nstep As |
Long, |
|
|
Optional Naccept As |
Long, |
|
|
Optional Nreject As |
Long, |
|
|
Optional Hinit As |
Double = 0, |
|
|
Optional Hmax As |
Double = 0, |
|
|
Optional MaxIter As |
Long = 0, |
|
|
Optional Nstiff As |
Long = 0, |
|
|
Optional Safe As |
Double = 0, |
|
|
Optional Fac1 As |
Double = 0, |
|
|
Optional Fac2 As |
Double = 0, |
|
|
Optional Beta As |
Double = 0, |
|
|
Optional Cnt As |
Long = 0 |
|
) |
| |
常微分方程式の初期値問題 (5(4)次 ドルマン・プリンス法) (リバースコミュニケーション版)
- 目的
- 本ルーチンは1階の常微分方程式の初期値問題
dy/dt = f(t, y), ただし t = t0 において y = y0
Dopri5は, 5(4)次 ドルマン・プリンス法に基づく陽的ルンゲ・クッタ法のプログラムである. ステップ制御アルゴリズムと密出力機能を持っており, 出力点数が非常に多くなったとしても効率的である.
詳細については下記参考文献を参照せよ.
Dopri5_rはDopri5のリバースコミュニケーション版である.
- 引数
-
| [in] | N | 微分方程式の数. (N >= 1) |
| [in,out] | T | 本ルーチンはTからToutまでの積分を行う. 積分を開始する点を与え, 最終ステップの最後の点が返される.
[in] 独立変数 t の初期値.
[out] ステップ終了時の最終値(通常Toutに等しい). 解がこの点まで正常に求められたことを示す. 新たなToutで Info = 1 として再呼び出しすることにより, 新たな点まで積分を継続することができる. |
| [in,out] | Y() | 配列 Y(LY - 1) (LY >= N)
[in] Tの初期値における従属変数Y()の初期値.
[out] 最終のT(通常Toutに等しい)において求められた解(の近似値). |
| [in] | Tout | 解を求めたい点を設定する. 積分を行うのはtについて前進方向(Tout > T)でも後退方向(Tout < T)でもよい.
要求精度を満たすように自動的に選ばれたステップ幅を用いてTからToutに向かって解が求められる. |
| [in] | RTol() | 配列 RTol(LRTol - 1) (LRTol >= 1) (RTol()の全要素 >= 0)
求める解の精度を指定する相対誤差許容値. 本パラメータはスカラー(LRTol = 1)またはベクトル(LRTol = N)のどちらでもよい. LRTol = 2, ... または N-1の場合, LRTol = 1 とみなす. LRTol > Nの場合, LRTol = N とみなす. LRTol = N であっても LATol = 1 であれば LRTol = 1 とみなす.
許容値は各ステップにおける局所的な誤差テストに使われ, Y(i)の各要素がおおむね次式を満たすようにする (i = 0 〜 LRTol-1).
abs(Y(i)の局所誤差) <= RTol(i)*abs(Y(i)) + ATol(i)
RTol(i) = 0 と設定するとその要素については純粋に絶対誤差テストとなる. RTol(i)とATol(i) (i = 0 〜 LRTol-1) が同時に0になってはいけない. |
| [in] | ATol() | 配列 ATol(LATol - 1) (LATol >= 1) (ATol()の全要素 >= 0)
求める解の精度を指定する絶対誤差許容値. 本パラメータはスカラー(LATol = 1)またはベクトル(LATol = N)のどちらでもよい. LATol = 2, ... または N-1の場合, LATol = 1 とみなす. LATol > Nの場合, LATol = N とみなす. LATol = N であっても LRTol = 1 であれば LATol = 1 とみなす.
許容値は各ステップにおけるローカルな誤差テストに使われ, Y()の各要素がおおむね次式を満たすようにする (i = 0 〜 LATol-1).
abs(Y(i)の局所誤差) <= RTol(i)*abs(Y(i)) + ATol(i)
ATol(i) = 0 と設定するとその要素については純粋に相対誤差テストとなる. RTol(i)とATol(i) (i = 0 〜 LRTol-1) が同時に0になってはいけない. |
| [in,out] | RCont() | 配列 RCont(LRCont - 1) (LRCont >= 5*N)
密出力のための制御情報.
(Iout = 0 のときには参照されない) |
| [in,out] | ICont() | 配列 ICont(LICont - 1) (LICont >= N)
密出力のための制御情報.
(Iout = 0 のときには参照されない) |
| [in,out] | Info | [in]
= 0: 初期化して計算を開始する(新たな問題を解く).
= 1: Toutだけを変えて計算を続ける(前回呼び出しの計算を再開する).
[out]
= -1: パラメータ N の誤り. (N < 1)
= -3: パラメータ Y() の誤り.
= -5: パラメータ RTol() の誤り. (RTol(i) < 0, RTol(i) = 0 かつ ATol(i) = 0)
= -6: パラメータ ATol() の誤り. (ATol(i) < 0)
= -7: パラメータ RCont() の誤り.
= -8: パラメータ ICont() の誤り.
= -9: パラメータ Info の誤り. (Info <> 0 かつ Info <> 1)
= -11: パラメータ YY() の誤り.
= -12: パラメータ YYp() の誤り.
= -14: パラメータ IRev の誤り. (IRev != 0, 1, 5)
= 1: 正常終了.
= 2: Irtrn による中断 (正常終了).
= 11: 最大ステップ数を超えた.
= 12: ステップサイズが小さくなり過ぎた.
= 13: スティフな問題の可能性がある (中断された). |
| [out] | TT | IRev = 1: 再呼び出し時に微分係数値を求めてYYp()に入れるべき点のTの値を返す. |
| [out] | YY() | 配列 YY(LYY - 1) (LYY >= N) IRev = 1: 再呼び出し時に微分係数値を求めてYYp()に入れるべき点のYの値を返す. |
| [in] | YYp() | 配列 YYp(LYYp - 1) (LYYp >= N)
IRev = 1: T(= TT)およびY(= YY())における微分係数, すなわち, YYp(i) = dyi/dt = fi(TT, YY(0), ..., YY(N-1)) (i = 0 〜 N-1) を計算して, 再呼び出し時に入力する. |
| [in,out] | Irtrn | [in] IRev = 5: 以下の特殊ケース以外は変更してはならない.
Irtrnを負の値に設定すると積分を中断して Info = 2 で終了する. また, 解を変更した場合には Irtrn = 3 と設定する必要がある.
[out] IRev = 5: 初回, 中間, 最後にIRev = 5 で戻るとき, それぞれ 0, 1, 2 を返す. |
| [in,out] | IRev | リバースコミュニケーションの制御変数
[in] 最初の呼び出し時に 0 に設定しておくこと. 2回目以降の呼び出し時には値を変更してはならない.
[out] 0 以外の場合, 下記処理を行いIRevを変更せずに再び本ルーチンを呼び出すこと.
= 0: 処理終了. 正常終了かどうかはInfoをチェックすること.
= 1: TTおよびYY()における微分係数の計算値をYYp()に設定する. YYp()以外の変数を変更してはならない.
= 5: 途中結果を出力する. 通常はどの変数も変更してはならない(Ioutを参照せよ). |
| [in] | Iout | (省略可)
計算の途中結果を出力するかどうか指定する. (省略時 = 0)
= 0: 出力しない. (IRev = 5では戻らない)
= 1: 途中結果出力のために成功したステップごとに IRev = 5 で戻る. リバースコミュニケーション版でないDopri5のSoloutの呼び出しに相当する. 対応する情報は次のとおりである.
Nr = Naccept + 1, Told = 前回のT, T = 現在のT, Y() = 現在のY().
RCont()およびICont()はSoloutと同様に密出力のために使用する.
Y(i) = Contd5_r(i, T2, RCont(), ICont())
(Ioutが上記以外の値であれば省略時の既定値とみなす) |
| [out] | Neval | (省略可)
関数評価回数. |
| [out] | Nstep | (省略可)
ステップ数. |
| [out] | Naccept | (省略可)
採用されたステップ数. |
| [out] | Nreject | (省略可)
不採用だったステップ数. (最初のステップはカウントされない) |
| [in] | Hinit | (省略可)
ステップ幅の初期値. (省略時 = 初期関数値より自動推定)
(Hinit = 0 であれば省略時の既定値とみなす) |
| [in] | Hmax | (省略可)
ステップ幅の最大値. (省略時 = Tout - T)
(Hmax = 0 であれば省略時の既定値とみなす) |
| [in] | MaxIter | (省略可)
許されるステップ数の最大値. (省略時 = 100000)
(MaxIter <= 0 であれば省略時の既定値とみなす) |
| [in] | Nstiff | (省略可)
Nstiff回のステップごとにスティフ性のテストを行う. (省略時 = 1000)
Nstiff < 0 であればテストは行わない.
(Nstiff = 0 であれば省略時の既定値とみなす) |
| [in] | Safe | (省略可)
ステップ幅推定時の安全係数. (0.0001 < Safe < 1) (省略時 = 0.9)
(Safe <= 0.0001 または Safe >= 1 であれば省略時の既定値とみなす) |
| [in] | Fac1 | (省略可) |
| [in] | Fac2 | (省略可)
ステップ幅選択パラメータ. (省略時: Fac1 = 0.2, Fac2 = 10)
Fac1 <= Hnew/Hold <= Fac2 となるようにステップ幅が選ばれる.
(Fac1=0 あるいは Fac2=0 であればそれぞれ省略時の既定値とみなす) |
| [in] | Beta | (省略可)
ステップ幅制御の安定化パラメータ. (Beta <= 0.2) (省略時 = 0.04)
(Beta < 0 または Beta > 0.2 であれば 0 とみなす) |
| [in] | Cnt | (省略可)
Neval, Nstep, Naccept, Nrejectをリセットするタイミングを指定する. (省略時 = 0)
= 0: 本ルーチンが呼び出されるたびにリセットする.
<> 0: Info = 0 で呼び出されたときにだけリセットする. |
- 出典
- E. Hairer, S.P. Norsett and G. Wanner, "Solving Ordinary Differential Equations. Nonstiff Problems. 2nd edition", Springer Series in Computational Mathematics, Springer-Verlag (1993)
邦訳: 「常微分方程式の数値解法Ⅰ 基礎編」スプリンガージャパン (2007)
- 使用例 (1)
- 次の常微分方程式の初期値問題を解く.
dy1/dt = -2*y1 + y2 - cos(t)
dy2/dt = 2*y1 - 3*y2 + 3*cos(t) - sin(t)
(t = 0 において y1 = 1, y2 = 2)
Sub F1(N As Long, T As Double, Y() As Double, Yp() As Double)
Yp(0) = -2 * Y(0) + Y(1) - Cos(T)
Yp(1) = 2 * Y(0) - 3 * Y(1) + 3 * Cos(T) - Sin(T)
End Sub
Sub Ex_Dopri5_r()
Const N = 2
Dim T As Double, Y(N - 1) As Double, Tend As Double, Tout As Double
Dim RTol(0) As Double, ATol(0) As Double, Info As Long
Dim RCont() As Double, ICont() As Long, TT As Double
Dim YY(N - 1) As Double, YYp(N - 1) As Double, Irtrn As Long, IRev As Long
RTol(0) = 0.0000000001 '1.0e-10
ATol(0) = RTol(0)
T = 0: Tend = 10: Y(0) = 1: Y(1) = 2
Info = 0
Do
Tout = T + 1
IRev = 0
Do
Call Dopri5_r(N, T, Y(), Tout, RTol(), ATol(), RCont(), ICont(), Info, TT, YY(), YYp(), Irtrn, IRev)
If IRev = 1 Then Call F1(N, TT, YY(), YYp())
Loop While IRev <> 0
If Info <> 1 Then
Debug.Print "Error in Dopri5_r: Info =", Info
Exit Do
End If
Debug.Print T, Y(0), Y(1)
Loop While Tout < Tend
End Sub
- 実行結果
1 0.367879441193688 0.908181746995853
2 0.13533528322734 -0.280811553289576
3 4.97870683500648E-02 -0.940205428195432
4 1.83156388723754E-02 -0.635327981941068
5 6.73794700675574E-03 0.290400132447405
6 2.4787521939019E-03 0.962649038792233
7 9.1188198233568E-04 0.75481413627468
8 3.35462627424841E-04 -0.145164571180089
9 1.2340978747767E-04 -0.911006852047013
10 4.53999120696984E-05 -0.839026129110666
- 使用例 (2)
- 次の常微分方程式の初期値問題を解く(密出力を使用).
dy1/dt = -2*y1 + y2 - cos(t)
dy2/dt = 2*y1 - 3*y2 + 3*cos(t) - sin(t)
(t = 0 において y1 = 1, y2 = 2)
Sub F1(N As Long, T As Double, Y() As Double, Yp() As Double)
Yp(0) = -2 * Y(0) + Y(1) - Cos(T)
Yp(1) = 2 * Y(0) - 3 * Y(1) + 3 * Cos(T) - Sin(T)
End Sub
Sub Ex_Dopri5_r_2()
Const N = 2
Dim T As Double, Y(N - 1) As Double, Tend As Double
Dim RTol(0) As Double, ATol(0) As Double, Info As Long
Dim RCont(5 * N - 1) As Double, ICont(N - 1) As Long, TT As Double
Dim YY(N - 1) As Double, YYp(N - 1) As Double, Irtrn As Long, IRev As Long
Dim Iout As Long, Tout As Double, Y0 As Double, Y1 As Double
RTol(0) = 0.0000000001 '1.0e-10
ATol(0) = RTol(0)
Iout = 1
T = 0: Tend = 10: Y(0) = 1: Y(1) = 2
Tout = 1
Info = 0
IRev = 0
Do
Call Dopri5_r(N, T, Y(), Tend, RTol(), ATol(), RCont(), ICont(), Info, TT, YY(), YYp(), Irtrn, IRev, Iout)
If IRev = 1 Then
Call F1(N, TT, YY(), YYp())
ElseIf IRev = 5 Then
While T >= Tout
Y0 = Contd5_r(0, Tout, RCont(), ICont())
Y1 = Contd5_r(1, Tout, RCont(), ICont())
Debug.Print Tout, Y0, Y1
Tout = Tout + 1
Wend
End If
Loop While IRev <> 0
If Info <> 1 Then Debug.Print "Error in Dopri5_r: Info =", Info
End Sub
- 実行結果
1 0.367879441187881 0.908181747006775
2 0.135335283237205 -0.280811553309717
3 4.97870683667704E-02 -0.940205428229821
4 1.83156388900869E-02 -0.635327981977462
5 6.73794699879586E-03 0.290400132463192
6 2.47875219132359E-03 0.962649038797553
7 9.11881968405946E-04 0.754814136303386
8 3.3546265009956E-04 -0.145164571227014
9 1.23409786683808E-04 -0.911006852045392
10 4.53999126645588E-05 -0.83902612911184
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1.9.6