◆ Dpbtrf()

Sub Dpbtrf	(	Uplo As	String,
		N As	Long,
		Kd As	Long,
		Ab() As	Double,
		Info As	Long
	)

係数行列のコレスキー分解 (正定値対称帯行列)

目的: 本ルーチンは正定値対称帯行列Aのコレスキー分解を計算する. 分解は次の形式である.
A = U^T * U (Uplo = "U"の場合)

A = L * L^T (Uplo = "L"の場合)

ここで, Uは上三角行列, Lは下三角行列である.

引数

[in]	Uplo	= "U": Aの上三角部分を格納. = "L": Aの下三角部分を格納.
[in]	N	連立方程式の数, すなわち, 行列Aの行および列数. (N >= 0) (N = 0 の場合, 処理を行わずに戻る)
[in]	Kd	行列Aの上帯幅(Uplo = "U"の場合)あるいは下帯幅(Uplo = "L"の場合). (Kd >= 0)
[in,out]	Ab()	配列 Ab(LAb1 - 1, LAb2 - 1) (LAb1 >= Kd + 1, LAb2 >= N) [in] Kd+1×N対称帯行列形式のN×N対称帯行列 A. Uploに従って上または下三角部分を格納. 詳細は下記を参照のこと. [out] Info = 0の場合, 帯行列Aのコレスキー分解 A = U^TU または A = LL^T の三角行列UまたはLをAと同様の形式で格納.
[out]	Info	= 0: 正常終了. = -1: パラメータ Uplo の誤り. (Uplo <> "U"および"L") = -2: パラメータ N の誤り. (N < 0) = -3: パラメータ Kd の誤り. (Kd < 0) = -4: パラメータ Ab() の誤り. = i > 0: Aのi×i首座小行列が正定値でないため分解を完了できなかった.

詳細

次の例は, n = 6, kd = 2, Uplo = "U" の場合の対称帯行列形式を表す.

入力:

   *    *   a13  a24  a35  a46
   *   a12  a23  a34  a45  a56
  a11  a22  a33  a44  a55  a66

出力:

   *    *   u13  u24  u35  u46
   *   u12  u23  u34  u45  u56
  u11  u22  u33  u44  u55  u66

同様に uplo = "L" の場合, Aの形式は次のようになる.

入力:

  a11  a22  a33  a44  a55  a66
  a21  a32  a43  a54  a65   *
  a31  a42  a53  a64   *    *

出力:

  l11  l22  l33  l44  l55  l66
  l21  l32  l43  l54  l65   *
  l31  l42  l53  l64   *    *

*で示された配列要素は使用されない.

出典: LAPACK

使用例: 連立一次方程式 Ax = B を解き, 同時にAの条件数の逆数の推定値(RCond)を求める. ただし, Aは正定値対称帯行列で
( 0.61 0.79 0 ) ( 0.3034 )

A = ( 0.79 2.23 0.25 ), B = ( 0.8537 )

( 0 0.25 2.87 ) ( 0.8000 )

とする.
Sub Ex_Dpbtrf()

Const N As Long = 3, Kd = 1

Dim Ab(Kd, N - 1) As Double, B(N - 1) As Double

Dim ANorm As Double, RCond As Double, Info As Long

Ab(0, 0) = 0.61: Ab(0, 1) = 2.23: Ab(0, 2) = 2.87

Ab(1, 0) = 0.79: Ab(1, 1) = 0.25

B(0) = 0.3034: B(1) = 0.8537: B(2) = 0.8

ANorm = Dlansb("1", "L", N, Kd, Ab())

Call Dpbtrf("L", N, Kd, Ab(), Info)

If Info = 0 Then Call Dpbtrs("L", N, Kd, Ab(), B(), Info)

If Info = 0 Then Call Dpbcon("L", N, Kd, Ab(), ANorm, RCond, Info)

Debug.Print "X =", B(0), B(1), B(2)

Debug.Print "RCond =", RCond

Debug.Print "Info =", Info

End Sub

Dlansb
Function Dlansb(Norm As String, Uplo As String, N As Long, K As Long, Ab() As Double, Optional Info As Long) As Double
行列の1ノルム, フロベニウスノルム, 無限ノルム, または, 要素の最大絶対値 (対称帯行列)

Dpbcon
Sub Dpbcon(Uplo As String, N As Long, Kd As Long, Ab() As Double, ANorm As Double, RCond As Double, Info As Long)
行列の条件数 (正定値対称帯行列)

Dpbtrf
Sub Dpbtrf(Uplo As String, N As Long, Kd As Long, Ab() As Double, Info As Long)
係数行列のコレスキー分解 (正定値対称帯行列)

Dpbtrs
Sub Dpbtrs(Uplo As String, N As Long, Kd As Long, Ab() As Double, B() As Double, Info As Long, Optional Nrhs As Long=1)
分解済の連立一次方程式 AX = B の解 (正定値対称帯行列)

実行結果: X = 6.99999999999999E-02 0.33 0.25

RCond = 7.20810157140908E-02

Info = 0