◆ Zpbtrf()

Sub Zpbtrf	(	Uplo As	String,
		N As	Long,
		Kd As	Long,
		Ab() As	Complex,
		Info As	Long
	)

係数行列のコレスキー分解 (正定値エルミート帯行列)

目的: 本ルーチンは正定値エルミート帯行列Aのコレスキー分解を計算する. 分解は次の形式である.
A = U^H * U (Uplo = "U"の場合)

A = L * L^H (Uplo = "L"の場合)

ここで, Uは上三角行列, Lは下三角行列である.

引数

[in]	Uplo	= "U": Aの上三角部分を格納. = "L": Aの下三角部分を格納.
[in]	N	行列Aの行および列数. (N >= 0) (N = 0 の場合, 処理を行わずに戻る)
[in]	Kd	行列Aの上帯幅(Uplo = "U"の場合)あるいは下帯幅(Uplo = "L"の場合). (Kd >= 0)
[in,out]	Ab()	配列 Ab(LAb1 - 1, LAb2 - 1) (LAb1 >= Kd + 1, LAb2 >= N) [in] Kd+1×N対称帯行列形式のN×N正定値エルミート帯行列 A. Uploに従って上または下三角部分を格納. 詳細は下記を参照のこと. [out] Info = 0の場合, 帯行列Aのコレスキー分解 A = U^HU または A = LL^H の三角行列UまたはLをAと同様の形式で格納.
[out]	Info	= 0: 正常終了. = -1: パラメータ Uplo の誤り. (Uplo <> "U"および"L") = -2: パラメータ N の誤り. (N < 0) = -3: パラメータ Kd の誤り. (Kd < 0) = -4: パラメータ Ab() の誤り. = i > 0: Aのi×i首座小行列が正定値でないため分解を完了できなかった.

詳細

次の例は, N = 6, Kd = 2, Uplo = "U" の場合の対称帯行列形式を表す.

入力:

   *    *   a13  a24  a35  a46
   *   a12  a23  a34  a45  a56
  a11  a22  a33  a44  a55  a66

出力:

   *    *   u13  u24  u35  u46
   *   u12  u23  u34  u45  u56
  u11  u22  u33  u44  u55  u66

同様に uplo = "L" の場合, Aの形式は次のようになる.

入力:

  a11  a22  a33  a44  a55  a66
  a21  a32  a43  a54  a65   *
  a31  a42  a53  a64   *    *

出力:

  l11  l22  l33  l44  l55  l66
  l21  l32  l43  l54  l65   *
  l31  l42  l53  l64   *    *

*で示された配列要素は使用されない.

出典: LAPACK

使用例: 連立一次方程式 Ax = B を解き, 同時にAの条件数の逆数の推定値(RCond)を求める. ただし,
( 2.88 0.29-0.44i 0 )

A = ( 0.29+0.44i 0.62 -0.01-0.02i )

( 0 -0.01+0.02i 0.46 )

( 1.6236-0.7300i )

B = ( 0.1581+0.1537i )

( 0.1132-0.2290i )

とする.
Sub Ex_Zpbtrf()

Const N As Long = 3, Kd = 1

Dim Ab(Kd, N - 1) As Complex, B(N - 1) As Complex

Dim ANorm As Double, RCond As Double, Info As Long

Ab(0, 0) = cmplx(2.88): Ab(0, 1) = cmplx(0.62): Ab(0, 2) = cmplx(0.46)

Ab(1, 0) = cmplx(0.29, 0.44): Ab(1, 1) = cmplx(-0.01, 0.02)

B(0) = cmplx(1.6236, -0.73): B(1) = cmplx(0.1581, 0.1537): B(2) = cmplx(0.1132, -0.229)

ANorm = Zlanhb("1", "L", N, Kd, Ab())

Call Zpbtrf("L", N, Kd, Ab(), Info)

If Info = 0 Then Call Zpbtrs("L", N, Kd, Ab(), B(), Info)

If Info = 0 Then Call Zpbcon("L", N, Kd, Ab(), ANorm, RCond, Info)

Debug.Print "X =",

Debug.Print Creal(B(0)), Cimag(B(0)), Creal(B(1)), Cimag(B(1)), Creal(B(2)), Cimag(B(2))

Debug.Print "RCond =", RCond

Debug.Print "Info =", Info

End Sub

Cimag
Function Cimag(A As Complex) As Double
複素数の虚数部

Creal
Function Creal(A As Complex) As Double
複素数の実数部

Zlanhb
Function Zlanhb(Norm As String, Uplo As String, N As Long, K As Long, Ab() As Complex, Optional Info As Long) As Double
行列の1ノルム, フロベニウスノルム, 無限ノルム, または, 要素の最大絶対値 (エルミート帯行列)

Zpbcon
Sub Zpbcon(Uplo As String, N As Long, Kd As Long, Ab() As Complex, ANorm As Double, RCond As Double, Info As Long)
行列の条件数 (正定値エルミート帯行列)

Zpbtrf
Sub Zpbtrf(Uplo As String, N As Long, Kd As Long, Ab() As Complex, Info As Long)
係数行列のコレスキー分解 (正定値エルミート帯行列)

Zpbtrs
Sub Zpbtrs(Uplo As String, N As Long, Kd As Long, Ab() As Complex, B() As Complex, Info As Long, Optional Nrhs As Long=1)
分解済の連立一次方程式 AX = B の解 (正定値エルミート帯行列)

実行結果: X = 0.59 -0.28 -0.2 -0.04 0.24 -0.49

RCond = 0.124521368143895

Info = 0