Dgges Dgges_r Dggesx Dggesx_r Dggev Dggevx

Dggev() Sub Dggev ( Jobvl As  String, Jobvr As  String, N As  Long, A() As  Double, B() As  Double, Alphar() As  Double, Alphai() As  Double, Beta() As  Double, Vl() As  Double, Vr() As  Double, Info As  Long  ) (シンプルドライバ) 一般化固有値問題 (一般行列) 目的 本ルーチンはn×n一般実行列のペア(A, B)の一般化固有値, および, 必要により左および／または右一般化固有ベクトルを求める. 行列のペア(A, B)の一般化固有値は, A - λB が特異となるようなスカラーλあるいは比α/β=λである. β = 0 あるいは両方共0の場合に適当な解釈ができるため, これは通常ペア(α, β)で表される. (A, B)の一般化固有値λ(j)に対応する右一般化固有ベクトルv(j)は次式を満たす. A * v(j) = λ(j) * B * v(j) (A, B)の一般化固有値λ(j)に対応する左一般化固有ベクトルu(j)は次式を満たす. u(j)^H * A = λ(j) * u(j)^H * B ここで, u(j)^Hはu(j)の共役転置である. 引数 [in] Jobvl = "N": 左一般化固有ベクトルを求めない. = "V": 左一般化固有ベクトルを求める. [in] Jobvr = "N": 右一般化固有ベクトルを求めない. = "V": 右一般化固有ベクトルを求める. [in] N 行列A, B, VLおよびVRの行および列数. (N >= 0) (N = 0 の場合, 処理を行わずに戻る) [in,out] A() 配列 A(LA1 - 1, LA2 - 1) (LA1 >= N, LA2 >= N) [in] ペア(A, B)の行列 A. [out] A()は上書きされる. [in,out] B() 配列 B(LB1 - 1, LB2 - 1) (LB1 >= N, LB2 >= N) [in] ペア(A, B)の行列 B. [out] B()は上書きされる. [out] Alphar() 配列 Alphar(LAlphar - 1) (LAlphar >= N) [out] Alphai() 配列 Alphai(LAlphai - 1) (LAlphai >= N) [out] Beta() 配列 Beta(LBeta - 1) (LBeta >= N) (Alphar(j) + Alphai(j)*i)/Beta(j) (j = 0〜N-1) は一般化固有値である. Alphai(j)が0の場合, j番目の固有値は実数である. 正数の場合, j番目とj+1番目の固有値は複素共役対であり, Alphai(j+1)は負である. 注: 商Alphar(j)/Beta(j)およびAlphai(j)/Beta(j)はオーバーフローあるいはアンダーフローし易く, Beta(j)が0になることさえある. 従って, 比α/βを単純に計算することは避けなければならない. しかし, AlpharとAlphaiは常にnorm(A)より小さく, 通常は同程度の大きさである. また, Betaは常にnorm(B)より小さく, 通常は同程度の大きさである. [out] Vl() 配列 Vl(LVl1 - 1, LVl2 - 1) (LVl1 >= N, LVl2 >= N) Jobvl = "V": 左固有ベクトルu(j)が固有値と同じ順にVl()の列に入る.   j番目の固有値が実数の場合, u(j) = (Vl()のj番目の列) である.   j番目とj+1番目の固有値が複素共役対の場合, u(j) = (Vl()のj番目の列) + (Vl()のj+1番目の列)*i, u(j+1) = (Vl()のj番目の列) - (Vl()のj+1番目の列)*i である.   固有ベクトルは, 最大要素が |実数部| + |虚数部| = 1 となるように正規化される. Jobvl = "N": Vl()は参照されない. [out] Vr() 配列 Vr(LVr1 - 1, LVr2 - 1) (LVr1 >= N, LVr2 >= N) Jobvr = "V": 右固有ベクトルv(j)が固有値と同じ順にVr()の列に入る.   j番目の固有値が実数の場合, v(j) = (Vr()のj番目の列) である.   j番目とj+1番目の固有値が複素共役対の場合, v(j) = (Vr()のj番目の列) + (Vr()のj+1番目の列)*i, v(j+1) = (Vr()のj番目の列) - (Vr()のj+1番目の列)*i である.   固有ベクトルは, 最大要素が |実数部| + |虚数部| = 1 となるように正規化される. Jobvr = "N": Vr()は参照されない. [out] Info = 0: 正常終了. = -1: パラメータ Jobvl の誤り. (Jobvl <> "V"および"N") = -2: パラメータ Jobvr の誤り. (Jobvr <> "V"および"N") = -3: パラメータ N の誤り. (N < 0) = -4: パラメータ A() の誤り. = -5: パラメータ B() の誤り. = -6: パラメータ Alphar() の誤り. = -7: パラメータ Alphai() の誤り. = -8: パラメータ Beta() の誤り. = -9: パラメータ Vl() の誤り. = -10: パラメータ Vr() の誤り. = i (0 < i <= N): QZ反復が収束しなかった. 固有ベクトルは計算されないが, Alphar(j), Alphai(j), Beta(j) (j = i〜N-1) は正しい値である. = N+1: DhgeqzにおいてQZ反復の収束以外のエラーが起きた. = N+2: Dtgevcにおいてエラーがあった. 出典 LAPACK 使用例 行列のペア(A, B)の一般化固有値および左および右一般化固有ベクトルを求める. ただし, ( 0.20 -0.11 -0.93 ) ( -0.58 -0.79 0.82 ) A = ( -0.32 0.81 0.37 ), B = ( 0.77 0.71 -0.55 ) ( -0.80 -0.92 -0.29 ) ( -1.36 -1.22 1.66 ) とする. Sub Ex_Dggev() Const N = 3 Dim A(N - 1, N - 1) As Double, B(N - 1, N - 1) As Double Dim Alphar(N - 1) As Double, Alphai(N - 1) As Double, Beta(N - 1) As Double Dim Vl(N - 1, N - 1) As Double, Vr(N - 1, N - 1) As Double, Info As Long A(0, 0) = 0.2: A(0, 1) = -0.11: A(0, 2) = -0.93 A(1, 0) = -0.32: A(1, 1) = 0.81: A(1, 2) = 0.37 A(2, 0) = -0.8: A(2, 1) = -0.92: A(2, 2) = -0.29 B(0, 0) = -0.58: B(0, 1) = -0.79: B(0, 2) = 0.82 B(1, 0) = 0.77: B(1, 1) = 0.71: B(1, 2) = -0.55 B(2, 0) = -1.36: B(2, 1) = -1.22: B(2, 2) = 1.66 Call Dggev("V", "V", N, A(), B(), Alphar(), Alphai(), Beta(), Vl(), Vr(), Info) Debug.Print "Eigenvalues =" Debug.Print " (r)", Alphar(0) / Beta(0), Alphar(1) / Beta(1), Alphar(2) / Beta(2) Debug.Print " (i)", Alphai(0) / Beta(0), Alphai(1) / Beta(1), Alphai(2) / Beta(2) Debug.Print "Eigenvectors (L) =" Debug.Print Vl(0, 0), Vl(0, 1), Vl(0, 2) Debug.Print Vl(1, 0), Vl(1, 1), Vl(1, 2) Debug.Print Vl(2, 0), Vl(2, 1), Vl(2, 2) Debug.Print "Eigenvectors (R) =" Debug.Print Vr(0, 0), Vr(0, 1), Vr(0, 2) Debug.Print Vr(1, 0), Vr(1, 1), Vr(1, 2) Debug.Print Vr(2, 0), Vr(2, 1), Vr(2, 2) Debug.Print "Info =", Info End Sub 実行結果 Eigenvalues = (r) 1.10765548065266 1.10765548065266 -1.74329621491312 (i) 1.40252005479606 -1.40252005479606 0 Eigenvectors (L) = 0.828456655019124 0.171543344980876 -1 -0.174134648086565 0.261212076890975 -0.66437599243234 -0.601718475294568 -0.175396675418769 4.15956472218708E-02 Eigenvectors (R) = -9.54330235945138E-02 0.502674461662748 -1 -0.945775638065751 5.42243619342491E-02 0.224694817103864 -0.659251386021417 5.30923334667921E-02 -0.954838851339161 Info = 0