◆ WZgelsy2()

優決定または劣決定系連立一次方程式 Ax = b の解 (完全直交分解) (複素行列) (実数部／虚数部分離形式)

目的: WZgelsy2は複素線形最小二乗問題の最小ノルム解を, Aの完全直交分解を使って求める.
|| A * X - B || を最小化する.

AはM×N行列で, ランク落ちしていてもよい.

いくつかの右辺ベクトル b および解ベクトル x を1回の呼び出しで扱うことができる. これらのベクトルは, M×Nrhs右辺行列BおよびN×Nrhs解行列Xの列として格納される.

まず最初に列のピボット選択付きQR分解を求める.
A * P = Q * [ R11 R12 ]

[ 0 R22 ]

R11は最大の主小行列を示し, その推定条件数は1/RCondより小さい. R11の次数(rank)はAの有効ランク数である.

そして, R22は無視してよいと考えられ, R12は右からの直交変換により消え, 次の完全直交分解になる.
A * P = Q * [ T11 0 ] * Z

[ 0 0 ]

これより, 最小ノルム解は次のように求められる.
X = P * Z^H [ T11^(-1)*Q1^H*B ]

[ 0 ]

ここで, Q1はQのはじめのrank列よりなる.

複素数を表現するために実数部と虚数部を隣り合ったセルに格納する(左が実数部, 右が虚数部). 得られた解も実数部と虚数部が隣り合った別々のセルに出力される.

戻り値

M >= N の場合 (N+1 × 2Nrhs (Cov = "N"), N+1 × 2Nrhs+1 (Cov = "D"), N+1 × 2Nrhs+2N (Cov = "C"))

	列1〜2Nrhs	列2Nrhs+1 (Cov = "D" の場合)	列2Nrhs+1〜2Nrhs+2N (Cov = "C" の場合)
行1〜N	最小二乗解ベクトル x	分散(分散共分散行列の対角要素)	分散共分散行列
行N+1	ランク数 (列1), リターンコード (列2)	0	0

M < Nの場合 (N+1 × 2Nrhs)

	列1〜2Nrhs
行1〜N	最小ノルム解ベクトル x
行N+1	ランク数 (列1), リターンコード (列2)

リターンコード
= 0: 正常終了.
= i > 0: 行列のi番目のピボットがゼロになった.

引数

[in]	M	行列 A の行数. (M >= 1)
[in]	N	行列 A の列数. (N >= 1)
[in]	A	(M×2N) M×N係数行列 A. (ランク落ちしていてもよい)
[in]	B	(M×2Nrhs) 右辺行列 B.
[in]	Nrhs	(省略可) 右辺行列Bの列数. (Nrhs >= 1) (省略時 = 1)
[in]	RCond	(省略可) 有効ランク数を決めるためのパラメータ. ピボットの選択により行と列の入れ替えを行い推定条件数 < 1/RCond までの部分を有効ランクとする. (省略時 = 1.0e-15)
[in]	Cov	(省略可) = "N": 分散共分散行列を計算しない. = "D": 分散(分散共分散行列の対角要素)を計算する. (M >= Nの場合) = "C": 分散共分散行列を計算する. (M >= Nの場合) (省略時 = "N")

使用例: 優決定系連立1次方程式 Ax = B の最小二乗解を求める. また, 分散を求める. ただし,
( -0.82+0.83i 0.18-0.94i -0.18-0.12i )

A = ( -0.76-0.24i 0.57-0.16i -0.08-0.27i )

( 1.90+0.26i -0.98+0.54i 0.21+0.28i )

( 0.50-0.30i -0.31+0.37i 0.22+0.19i )

( 1.7126-0.6648i )

B = ( 0.8697+0.7604i )

( -2.1048-1.6171i )

( -0.9297+0.1252i )

とする.

WZgelsy2