WZgesvd WZgesvd2 WZggsvd3 WZggsvd32

WZggsvd3() Function WZggsvd3 ( Jobu As  String, Jobv As  String, Jobq As  String, M As  Long, N As  Long, P As  Long, A As  Variant, B As  Variant  ) 一般化特異値分解 (GSVD) (複素行列) (Excel複素数形式) 目的 WZggsvd3はM×N複素行列 A および P×N複素行列 B の一般化特異値分解(GSVD)を求める. U^H*A*Q = D1*(0 R), V^H*B*Q = D2*(0 R) ここで, U, VおよびQはユニタリ行列である. K+L = (A^H, B^H)^H の有効ランク数 とすると, R は (K+L)×(K+L)上三角行列, D1およびD2はそれぞれ M×(K+L) および P×(K+L)「対角」行列となり, 次のような構造をもつ. M-K-L >= 0 の場合: K L D1 = K (I 0) L (0 C) M-K-L (0 0) K L D2 = L (0 S) P-L (0 0) N-K-L K L (0 R) = K ( 0 R11 R12) L ( 0 0 R22) ただし, C = diag(Alpha(K), ... , Alpha(K+L-1)), S = diag(Beta(K), ... , Beta(K+L-1)), C^2 + S^2 = I. 終了時, R は A(0〜K+L-1, N-K-L〜N-1) に格納される. M-K-L < 0 の場合: K M-K K+L-M D1 = K (I 0 0) M-K (0 C 0) K M-K K+L-M D2 = M-K (0 S 0) K+L-M (0 0 I) P-L (0 0 0) N-K-L K M-K K+L-M (0 R) = K ( 0 R11 R12 R13) M-K ( 0 0 R22 R23) K+L-M ( 0 0 0 R33) ただし, C = diag(Alpha(K), ... , Alpha(M-1)), S = diag(Beta(K), ... , Beta(M-1)), C^2 + S^2 = I 終了時, (R11 R12 R13) は A(0〜M-1, N-K-L〜N-1) に格納される. また, R33 は ( 0 R22 R23) B(M-K〜L-1, N+M-K-L〜N-1) に格納される. C, S, R および必要ならばユニタリ変換行列 U, V, Q が求められる. Alpha()およびBeta()にAおよびBの一般化特異値が入る.   Alpha(0 to K-1) = 1,   Beta(0 to K-1) = 0, M-K-L >= 0 の場合,   Alpha(K to K+L-1) = C,   Beta(K to K+L-1) = S, M-K-L < 0 の場合,   Alpha(K to M-1)= C, Alpha(M to K+L-1) = 0,   Beta(K to M-1) = S, Beta(M to K+L-1) = 1, また   Alpha(K+L to N-1) = 0,   Beta(K+L to N-1) = 0. 行列 B がN×N行列の場合, AとBのGSVDは暗黙のうちに A*inv(B) のSVDを与える. A*inv(B) = U*(D1*inv(D2))*V^H (A^H,B^H)^H の列が正規直交であれば, AとBのGSVDはAとBのCS分解に等しい. さらに, GSVDを固有値問題を解くために使うことができる. A^H*A*X = λB^H*B*X 文献によってはAとBのGSVDを次のように表していることがある. U^H*A*X = (0 D1), V^H*B*X = (0 D2) ここで, UとVはユニタリ行列で, Xは特異でないものとする. D1とD2は「対角」行列である. 非特異行列Xを次のようにとることにより, GSVDの前者の形式を後者の形式に変換することができる. X = Q*(I 0 ) (0 inv(R)) セル中で複素数を表現するためにExcelの複素数形式(例, 2.5+1i)を使用する. 複素数値はComplexワークシート関数を使って入力することができる. 戻り値 N+1×K+L+2 (Jobu = "N", Jobv = "N", Jobq = "N" の場合) 列1 列2 列3〜K+L+2 行1〜N 一般化特異値 Alpha(j) (j = 1〜N) 一般化特異値 Beta(j) (j = 1〜N) K+L×K+L 上三角行列 R 行N+1 リターンコード サブブロックの次数K サブブロックの次数L (列3) max(M,N)+1×K+L+M+2 (Jobu = "U", Jobv = "N", Jobq = "N" の場合) 列1 列2 列3〜K+L+2 列K+L+3〜K+L+M+2 行1〜max(M, N) 一般化特異値 Alpha(j) (j = 1〜N) 一般化特異値 Beta(j) (j = 1〜N) K+L×K+L 上三角行列 R M×M ユニタリ行列 U 行max(M, N) + 1 リターンコード サブブロックの次数K サブブロックの次数L (列3) 0 max(N,P)+1×K+L+P+2 (Jobu = "N", Jobv = "V", Jobq = "N" の場合) 列1 列2 列3〜K+L+2 列K+L+3〜K+L+P+2 行1〜max(N, P) 一般化特異値 Alpha(j) (j = 1〜N) 一般化特異値 Beta(j) (j = 1〜N) K+L×K+L 上三角行列 R P×P ユニタリ行列 V 行max(N, P) + 1 リターンコード サブブロックの次数K サブブロックの次数L (列3) 0 N+1×K+L+N+2 (Jobu = "N", Jobv = "N", Jobq = "Q" の場合) 列1 列2 列3〜K+L+2 列K+L+3〜K+L+N+2 行1〜N 一般化特異値 Alpha(j) (j = 1〜N) 一般化特異値 Beta(j) (j = 1〜N) K+L×K+L 上三角行列 R N×N ユニタリ行列 Q 行N+1 リターンコード サブブロックの次数K サブブロックの次数L (列3) 0 max(M,N,P)+1×K+L+M+P+2 (Jobu = "U", Jobv = "V", Jobq = "N" の場合) 列1 列2 列3〜K+L+2 列K+L+3〜K+L+M+2 列K+L+M+3〜K+L+M+P+2 行1〜max(M, N, P) 一般化特異値 Alpha(j) (j = 1〜N) 一般化特異値 Beta(j) (j = 1〜N) K+L×K+L 上三角行列 R M×M ユニタリ行列 U P×P ユニタリ行列 V 行max(M, N, P) + 1 リターンコード サブブロックの次数K サブブロックの次数L (列3) 0 0 max(M,N)+1×K+L+M+N+2 (Jobu = "U", Jobv = "N", Jobq = "Q" の場合) 列1 列2 列3〜K+L+2 列K+L+3〜K+L+M+2 列K+L+M+3〜K+L+M+N+2 行1〜max(M, N) 一般化特異値 Alpha(j) (j = 1〜N) 一般化特異値 Beta(j) (j = 1〜N) K+L×K+L 上三角行列 R M×M ユニタリ行列 U N×N ユニタリ行列 Q 行max(M, N) + 1 リターンコード サブブロックの次数K サブブロックの次数L (列3) 0 0 max(N,P)+1×K+L+N+P+2 (Jobu = "N", Jobv = "V", Jobq = "Q" の場合) 列1 列2 列3〜K+L+2 列K+L+3〜K+L+P+2 列K+L+P+3〜K+L+N+P+2 行1〜max(N, P) 一般化特異値 Alpha(j) (j = 1〜N) 一般化特異値 Beta(j) (j = 1〜N) K+L×K+L 上三角行列 R P×P ユニタリ行列 V N×N ユニタリ行列 Q 行max(N, P) + 1 リターンコード サブブロックの次数K サブブロックの次数L (列3) 0 0 max(M,N,P)+1×K+L+M+N+P+2 (Jobu = "U", Jobv = "V", Jobq = "Q" の場合) 列1 列2 列3〜K+L+2 列K+L+3〜K+L+M+2 列K+L+M+3〜K+L+M+P+2 列K+L+M+P+3〜K+L+M+N+P+2 行1〜max(M, N, P) 一般化特異値 Alpha(j) (j = 1〜N) 一般化特異値 Beta(j) (j = 1〜N) K+L×K+L 上三角行列 R M×M ユニタリ行列 U P×P ユニタリ行列 V N×N ユニタリ行列 Q 行max(M, N, P) + 1 リターンコード サブブロックの次数K サブブロックの次数L (列3) 0 0 0 リターンコード. = 0: 正常終了. = 1: アルゴリズムが収束しなかった. 引数 [in] Jobu = 'U': ユニタリ行列 U を求める. = 'N': U を求めない. [in] Jobv ='V': ユニタリ行列 V を求める. = 'N': V を求めない. [in] Jobq = "Q": ユニタリ行列 Q を求める. = 'N': Q を求めない. [in] M 行列 A の行数. (M >= 1) [in] N 行列 A および B の列数. (N >= 1) [in] P 行列 B の行数. (P >= 1) [in] A (M×N) M×N 複素行列 A. [in] B (P×N) P×N 複素行列 B. 出典 LAPACK 使用例 行列 A および 行列 B の一般化特異値分解(GSVD)を求める. ただし, ( 0.20-0.11i -0.93-0.32i 0.81+0.37i ) A = ( -0.80-0.92i -0.29+0.86i 0.64+0.51i ) ( 0.71+0.59i -0.15+0.19i 0.20+0.94i ) ( 0.57-0.91i -0.28-0.45i 0.25+0.91i ) B = ( 0.83+0.46i 0.63-0.19i -0.69+0.09i ) ( 0.24-1.33i -0.56-0.67i 0.90+1.25i ) とする.