Dgees Dgees_r Dgeesx Dgeesx_r Dgeev Dgeevx

Dgeesx() Sub Dgeesx ( JobVs As  String, Sort As  String, Selct As  LongPtr, Sense As  String, N As  Long, A() As  Double, Sdim As  Long, Wr() As  Double, Wi() As  Double, Vs() As  Double, RConde As  Double, RCondv As  Double, Info As  Long  ) (エキスパートドライバ) シュール分解 (一般行列) 目的 本ルーチンはn×n一般実行列Aの固有値, 実シュール形T, および, 必要によりシュールベクトルからなる行列Zを求める. これらにより, シュール分解 A = Z*T*Z^T が与えられる. また, 必要により, 選択された固有値が左上にくるように固有値を実シュール形の対角要素上に並べ, 選択された固有値の平均の条件数の逆数(RConde), および, 選択された固有値に対応する右不変部分空間の条件数の逆数(RCondv)を求める. Zの先行する側の列はこの不変部分空間の直交基底を形成する. 条件数の逆数RCondeおよびRCondvについてのさらなる説明は LAPACK Users' Guide Third Edition Section 4.8.1 を参照のこと(これらはそれぞれsおよびsepと呼ばれている). 行列が1×1および2×2ブロックよりなる準上三角行列であれば実シュール形である. 2×2ブロックは次の形式に標準化できる. [ a b ] [ c a ] ここで, b*c < 0 である. このようなブロックの固有値は a±sqrt(bc) である. 引数 [in] Jobvs = "N": シュールベクトルを求めない. = "V": シュールベクトルを求める. [in] Sort シュール形の対角要素上の固有値の並べ替えを行うかどうか指定する. = "N": 固有値の並べ替えを行わない. = "S": 固有値の並べ替えを行う(Selctを参照のこと). [in] Selct Sort = "S": シュール形の左上にくるように並べ替える固有値を選択するためにSelctが使われる.   Selct(Wr(j), Wi(j))が true(= 1) であれば, 固有値 Wr(j)±Wi(j)*i が選択される. すなわち, 固有値の複素共役対のうち一つが選択されれば両方の複素固有値が選択される.   並べ替え後, 選択された複素固有値は Selct(Wr(j), Wi(j)) = true を満たさなくなるかもしれないことに注意せよ. これは, 並べ替えによって複素固有値の値が変わる可能性があるからである(特に, 固有値が悪条件の場合). この場合, Info = N+2 に設定される(下のInfoを参照のこと). Sort = "N": Selctは参照されない. [in] Sense どの条件数の逆数を計算するかを決定する. = 'N': 条件数を計算しない. = 'E': 選択された固有値の平均について条件数を計算する. = 'V': 選択された右不変部分空間について条件数を計算する. = 'B': 両方について条件数を計算する. Sense = "E", "V"あるいは"B"の場合、Sort = "S"でなければならない. [in] N 行列Aの行および列数. (N >= 0) (N = 0 の場合, 処理を行わずに戻る) [in,out] A() 配列 A(LA1 - 1, LA2 - 1) (LA1 >= N, LA2 >= N) [in] N×N行列 A. [out] A()はその実シュール形Tで上書きされる. [out] Sdim Sort = "N": Sdim = 0. Sort = "S": Sdim = Selctがtrueであった固有値(並べ替え後)の数. (どちらかの固有値についてSelctがtrueであった複素共役対は2とカウントする) [out] Wr() 配列 Wr(LWr - 1) (LWr >= N) [out] Wi() 配列 Wi(LWi - 1) (LWi >= N) 求められた固有値がシュール形Tの出力の対角要素に現れるのと同じ順で, Wr()およびWi()に求められた固有値のそれぞれ実数部および虚数部が入る. 複素共役対の固有値は, 虚数部が正の固有値を先頭に, 続けて現れる. [out] Vs() 配列 Vs(LVs1 - 1, LVs2 - 1) (LVs1 >= N, LVs2 >= N) Jobvs = "V": Vs()にシュールベクトルからなる直交行列Zが入る. Jobvs = "N": Vs()は参照されない. [out] RConde Sense = 'E'または'B': RCondeには選択された固有値の平均の条件数の逆数が入る. Sense = 'N'または'V': 参照されない. [out] RCondv Sense = 'V'または'B': RCondvには選択された右不変部分空間の条件数の逆数が入る. Sense = 'N'または'E': 参照されない. [out] Info = 0: 正常終了. = -1: パラメータ Jobvs の誤り. (Jobvs <> "V"および"N") = -2: パラメータ Sort の誤り. (Sort <> "S"および"N") = -4: パラメータ Sense の誤り. (Sense <> "E", "V", "B"および"N") = -5: パラメータ N の誤り. (N < 0) = -6: パラメータ A() の誤り. = -8: パラメータ Wr() の誤り. = -9: パラメータ Wi() の誤り. = -10: パラメータ Vs() の誤り. = i (0 < i <= N): QRアルゴリズムが失敗しすべての固有値を求めることはできなかった. Wr()およびWi()の要素 0〜Ilo-2 および i〜N-1 には収束した固有値が入る. Jobvs = "V"であれば, 部分的に収束したシュール形にAを変換する行列がVs()に入る. = N+1: 一部の固有値が近すぎて分離できないため固有値の並べ替えができなかった(問題が非常に悪条件である). = N+2: 並べ替え後, 丸め誤差により値が変わった複素固有値があり, シュール形の先頭のいくつかの固有値が Selct = true を満たさなくなった. これはスケーリングによるアンダーフローでも起こりうる. 出典 LAPACK 使用例 行列Aの固有値, 実シュール形T, および, シュールベクトルを求める. ただし, ( 0.20 -0.11 -0.93 ) A = ( -0.32 0.81 0.37 ) ( -0.80 -0.92 -0.29 ) とする. Sub Ex_Dgeesx() Const N = 3 Dim A(N - 1, N - 1) As Double, Wr(N - 1) As Double, Wi(N - 1) As Double Dim Sdim As Long, Vs(N - 1, N - 1) As Double Dim RConde As Double, RCondv As Double, Info As Long A(0, 0) = 0.2: A(0, 1) = -0.11: A(0, 2) = -0.93 A(1, 0) = -0.32: A(1, 1) = 0.81: A(1, 2) = 0.37 A(2, 0) = -0.8: A(2, 1) = -0.92: A(2, 2) = -0.29 Call Dgeesx("V", "S", AddressOf Selct, "B", N, A(), Sdim, Wr(), Wi(), Vs(), RConde, RCondv, Info) Debug.Print "Eigenvalues (r) =", Wr(0), Wr(1), Wr(2) Debug.Print "Eigenvalues (i) =", Wi(0), Wi(1), Wi(2) Debug.Print "Schur form T =" Debug.Print A(0, 0), A(0, 1), A(0, 2) Debug.Print A(1, 0), A(1, 1), A(1, 2) Debug.Print A(2, 0), A(2, 1), A(2, 2) Debug.Print "Schur vectors =" Debug.Print Vs(0, 0), Vs(0, 1), Vs(0, 2) Debug.Print Vs(1, 0), Vs(1, 1), Vs(1, 2) Debug.Print Vs(2, 0), Vs(2, 1), Vs(2, 2) Debug.Print "Rconde =", RConde, "Rcondv =", RCondv Debug.Print "Sdim =", Sdim, "Info =", Info End Sub Function Selct(Wr As Double, Wi As Double) As Long Selct = 0 If Wi <> 0 Then Selct = 1 End Function 実行結果 Eigenvalues (r) = 0.812065011925672 0.812065011925672 -0.904130023851345 Eigenvalues (i) = 0.48915757543818 -0.48915757543818 0 Schur form T = 0.812065011925672 0.540472392276116 0.684902131153596 -0.442714812131086 0.812065011925672 -0.537914483752962 0 0 -0.904130023851345 Schur vectors = -0.492366426634308 -0.620320586279211 0.610555216308549 0.867251026977165 -0.290139488675864 0.404592057902722 -7.38306042939846E-02 0.728712184164039 0.680828608770563 Rconde = 0.894479266547508 Rcondv = 1.47509658058209 Sdim = 2 Info = 0