Dgees Dgees_r Dgeesx Dgeesx_r Dgeev Dgeevx

Dgees() Sub Dgees ( Jobvs As  String, Sort As  String, Selct As  LongPtr, N As  Long, A() As  Double, Sdim As  Long, Wr() As  Double, Wi() As  Double, Vs() As  Double, Info As  Long  ) (シンプルドライバ) シュール分解 (一般行列) 目的 本ルーチンはn×n一般実行列Aの固有値, 実シュール形T, および, 必要によりシュールベクトルからなる行列Zを求める. これらにより, シュール分解 A = Z*T*Z^T が与えられる. また, 必要により, 選択された固有値が左上にくるように固有値を実シュール形の対角要素上に並べる. その結果Zの先行する側の列は選択された固有値に対応する不変部分空間の直交基底を形成する. 行列が1×1および2×2ブロックよりなる準上三角行列であれば実シュール形である. 2×2ブロックは次の形式に標準化できる. [ a b ] [ c a ] ここで, b*c < 0 である. このようなブロックの固有値は a±sqrt(bc) である. 引数 [in] Jobvs = "N": シュールベクトルを求めない. = "V": シュールベクトルを求める. [in] Sort シュール形の対角要素上の固有値の並べ替えを行うかどうか指定する. = "N": 固有値の並べ替えを行わない. = "S": 固有値の並べ替えを行う(Selctを参照のこと). [in] Selct Sort = "S": シュール形の左上にくるように並べ替える固有値を選択するためにSelctが使われる.   Selct(Wr(j), Wi(j))が true(= 1) であれば, 固有値 Wr(j)±Wi(j)*i が選択される. すなわち, 固有値の複素共役対のうち一つが選択されれば両方の複素固有値が選択される.   並べ替え後, 選択された複素固有値は Selct(Wr(j), Wi(j)) = true を満たさなくなるかもしれないことに注意せよ. これは, 並べ替えによって複素固有値の値が変わる可能性があるからである(特に, 固有値が悪条件の場合). この場合, Info = N+2 に設定される(下のInfoを参照のこと). Sort = "N": Selctは参照されない. [in] N 行列Aの行および列数. (N >= 0) (N = 0 の場合, 処理を行わずに戻る) [in,out] A() 配列 A(LA1 - 1, LA2 - 1) (LA1 >= N, LA2 >= N) [in] N×N行列 A. [out] A()はその実シュール形Tで上書きされる. [out] Sdim Sort = "N": Sdim = 0. Sort = "S": Sdim = Selctがtrueであった固有値(並べ替え後)の数. (どちらかの固有値についてSelctがtrueであった複素共役対は2とカウントする) [out] Wr() 配列 Wr(LWr - 1) (LWr >= N) [out] Wi() 配列 Wi(LWi - 1) (LWi >= N) 求められた固有値がシュール形Tの出力の対角要素に現れるのと同じ順で, Wr()およびWi()に求められた固有値のそれぞれ実数部および虚数部が入る. 複素共役対の固有値は, 虚数部が正の固有値を先頭に, 続けて現れる. [out] Vs() 配列 Vs(LVs1 - 1, LVs2 - 1) (LVs1 >= N, LVs2 >= N) Jobvs = "V": Vs()にシュールベクトルからなる直交行列Zが入る. Jobvs = "N": Vs()は参照されない. [out] Info = 0: 正常終了. = -1: パラメータ Jobvs の誤り. (Jobvs <> "V"および"N") = -2: パラメータ Sort の誤り. (Sort <> "S"および"N") = -4: パラメータ N の誤り. (N < 0) = -5: パラメータ A() の誤り. = -7: パラメータ Wr() の誤り. = -8: パラメータ Wi() の誤り. = -9: パラメータ Vs() の誤り. = i (0 < i <= N): QRアルゴリズムが失敗しすべての固有値を求めることはできなかった. Wr()およびWi()の要素 0〜Ilo-2 および i〜N-1 には収束した固有値が入る. Jobvs = "V"であれば, 部分的に収束したシュール形にAを変換する行列がVs()に入る. = N+1: 一部の固有値が近すぎて分離できないため固有値の並べ替えができなかった(問題が非常に悪条件である). = N+2: 並べ替え後, 丸め誤差により値が変わった複素固有値があり, シュール形の先頭のいくつかの固有値が Selct = true を満たさなくなった. これはスケーリングによるアンダーフローでも起こりうる. 出典 LAPACK 使用例 行列Aの固有値, シュール形T, および, シュールベクトルを求める. ただし, ( 0.20 -0.11 -0.93 ) A = ( -0.32 0.81 0.37 ) ( -0.80 -0.92 -0.29 ) とする. Sub Ex_Dgees() Const N = 3 Dim A(N - 1, N - 1) As Double, Wr(N - 1) As Double, Wi(N - 1) As Double Dim Sdim As Long, Vs(N - 1, N - 1) As Double, Info As Long A(0, 0) = 0.2: A(0, 1) = -0.11: A(0, 2) = -0.93 A(1, 0) = -0.32: A(1, 1) = 0.81: A(1, 2) = 0.37 A(2, 0) = -0.8: A(2, 1) = -0.92: A(2, 2) = -0.29 Call Dgees("V", "S", AddressOf Selct, N, A(), Sdim, Wr(), Wi(), Vs(), Info) Debug.Print "Eigenvalues (r) =", Wr(0), Wr(1), Wr(2) Debug.Print "Eigenvalues (i) =", Wi(0), Wi(1), Wi(2) Debug.Print "Schur form T =" Debug.Print A(0, 0), A(0, 1), A(0, 2) Debug.Print A(1, 0), A(1, 1), A(1, 2) Debug.Print A(2, 0), A(2, 1), A(2, 2) Debug.Print "Schur vectors =" Debug.Print Vs(0, 0), Vs(0, 1), Vs(0, 2) Debug.Print Vs(1, 0), Vs(1, 1), Vs(1, 2) Debug.Print Vs(2, 0), Vs(2, 1), Vs(2, 2) Debug.Print "Sdim =", Sdim, "Info =", Info End Sub Function Selct(Wr As Double, Wi As Double) As Long Selct = 0 If Wi <> 0 Then Selct = 1 End Function 実行結果 Eigenvalues (r) = 0.812065011925672 0.812065011925672 -0.904130023851345 Eigenvalues (i) = 0.48915757543818 -0.48915757543818 0 Schur form T = 0.812065011925672 0.540472392276116 0.684902131153596 -0.442714812131086 0.812065011925672 -0.537914483752962 0 0 -0.904130023851345 Schur vectors = -0.492366426634308 -0.620320586279211 0.610555216308549 0.867251026977165 -0.290139488675864 0.404592057902722 -7.38306042939846E-02 0.728712184164039 0.680828608770563 Sdim = 2 Info = 0