Deabm Deabm_r Derkfa Derkfa_r Dop853a Dop853a_r Dopn1210 Dopn1210_r Dopn43 Dopn43_r Dopn64 Dopn64_r Dopn86 Dopn86_r Dopri5a Dopri5a_r Dverka Dverka_r Odex2a Odex2a_r Odexa Odexa_r Retarda Retarda_r Ylaga

Dopn86_r() Sub Dopn86_r ( N As  Long, T As  Double, Y() As  Double, Yp() As  Double, Tout As  Double, Tend As  Double, RTol() As  Double, ATol() As  Double, Mode As  Long, Info As  Long, TT As  Double, YY() As  Double, YYpp() As  Double, IRev As  Long, Optional Neval As  Long, Optional Nstep As  Long, Optional Naccept As  Long, Optional Nreject As  Long, Optional MaxIter As  Long = 0, Optional ErrCntl As  Long = 0, Optional Cnt As  Long = 0, Optional Hinit As  Double = 0, Optional Hmax As  Double = 0, Optional Fac1 As  Double = 0, Optional Fac2 As  Double = 0, Optional Safe As  Double = 0  ) 常微分方程式の初期値問題 (8(6)次ルンゲ・クッタ・ニュストレム法) (2階微分方程式用) (リバースコミュニケーション版) 目的 本プログラムは2階常微分方程式の初期値問題 d2y/dt2 = f2(t, y), ただし t = t0 において y = y0, y' = y'0 の解を求める. ただし, y および y' は要素数 n のベクトルで表され, 方程式は n 本の連立微分方程式である. また, t0, y0 および y'0 はそれぞれ t, y および y' の既知の初期値である. 本プログラムは 8(6)次ルンゲ・クッタ・ニュストレム法プログラムである. 係数 (RKN8(6)9FM) は文献(1)を, 密出力のための補間式は文献(2)を参照せよ. 本プログラムは Dopn86 のリバースコミュニケーション版である. 引数 [in] N 微分方程式の数. (N >= 1) [in,out] T 独立変数 t を表す. 本プログラムは t の初期値から Tend までの積分を行う. Mode の設定により, 途中結果を返すために Tout またはステップごとに戻ることができる. [in] t の初期値 t0. [out] 積分終了時には T = Tend, 途中結果を返すために戻ったときには Mode の設定により T = Tout または T = 直前のステップの終点の値 を返す. [in,out] Y() 配列 Y(LY - 1) (LY >= N) 従属変数 y を表す. [in] t の初期値 t0 における y の初期値 y0. [out] t = T における y の値 (数値解). [in,out] Yp() 配列 Yp(LYp - 1) (LYp >= N) y の微分係数 y'. [in] t の初期値 t0 における微分係数 y' の初期値 y'0. [out] t = T における微分係数 y' の値 (数値解). 注 - 本プログラムでは Mode = 3 で y' の値(補間値 Yp())を返さない. y だけでなく y' の値も必要な場合には Mode = 2 を使用すること. [in] Tout Mode = 2 または 3 の場合に, 途中結果の確認／出力を行う t を表す. Mode = 0 または 1 では Tout は参照されない. Mode = 2 または 3 では t = Tout における y を求め, それぞれ Info = 2 または 3 として戻る. 続いて新たな Tout における解を求めるために積分を継続したい場合には, 新たな Tout に変更して(Info を含む)他の変数を変更せずに再度呼び出しを行うことができる. T < Tout <= Tend でなければならない (ただし, 後退方向に積分を行う場合には Tend <= Tout < T でなければならない). 先に Tend に達した場合にはその時点で積分を終了し T = Tend, Info = 0 として戻る. [in] Tend 積分を終了する点を表す. Tend に達すると積分を終了し, T = Tend, Info = 0 として戻る. 積分を行うのは前進方向 (Tend > T) でも後退方向 (Tend < T) でもよい. [in] Rtol() 配列 Rtol(LRtol - 1) (LRtol >= 1) (Rtol()の全要素 >= 0) 求める解の精度を指定する相対誤差許容値を表す. 本パラメータは LRtol および LAtol の値によりスカラーまたは配列を選択できる. (LRtol < N または LAtol < N の場合はスカラー, LRtol >= N かつ LAtol >= N の場合は配列とみなす) Rtol は Atol と共に各ステップにおける局所誤差テストに用いられ, Y() および Yp() の各要素が次式を満たすように自動的に選ばれたステップ幅を用いて積分が行われる. スカラーの場合 (i = 0 〜 N - 1): (局所誤差) <= max(Rtol(0)*Abs(Y(i)) + Atol(0), Rtol(0)*Abs(Yp(i)) + Atol(0)) (ErrCntl = 0 の場合) (局所誤差) <= Rtol(0)*Abs(Y(i)) + Atol(0) (ErrCntl = 1 の場合) ただし, Rtol(0) と Atol(0) が同時に 0 であってはならない. 配列の場合 (i = 0 〜 N - 1): (局所誤差) <= max(Rtol(i)*Abs(Y(i)) + Atol(i), Rtol(i)*Abs(Yp(i)) + Atol(i)) (ErrCntl = 0 の場合) (局所誤差) <= Rtol(i)*Abs(Y(i)) + Atol(i) (ErrCntl = 1 の場合) ただし, Rtol(i) と Atol(i) が同時に 0 であってはならない. [in] ATol() 配列 Atol(LAtol - 1) (LAtol >= 1) (Atol()の全要素 >= 0) 求める解の精度を指定する絶対誤差許容値を表す. 本パラメータは LRtol および LAtol の値によりスカラーまたは配列を選択できる. (LRtol < N または LAtol < N の場合はスカラー, LRtol >= N かつ LAtol >= N の場合は配列とみなす) Atol は Rtol と共に各ステップにおける局所誤差テストに用いられる (上記 Rtol 参照). [in] Mode 動作モード. 本プログラムは t0 から Tend までの積分を行うが, 中間結果の確認／出力の方法により4つの動作モードが提供される. どのモードでも T = Tend に達したときには積分を終了し, Info = 0 を返す. = 0: Tend まで戻らない. Tout は無視される. = 1: 成功したステップごとに戻る (Info = 1 を返す). Tout は無視される. T にはそのステップの終了点を返す. 最終ステップでは T = Tend となるようにステップ幅が調整される. = 2: 積分途中で Tout における中間結果を返すために戻る (T = Tout, Info = 2 を返す). 続けて次の Tout における解を求めるために積分を継続するためは, Tout を新たな値に変えて再度呼び出しを行うことができる. Tout 直前のステップでは T = Tout となるようにステップ幅が調節される. = 3: 積分途中で Tout における中間結果を返すために戻る (T = Tout, Info = 3 を返す). 続けて次の Tout における解を求めるために積分を継続するためは, Tout を新たな値に変えて再度呼び出しを行うことができる. Mode = 2 と異なり Tout における Y() の値は補間により求められ, Tout 直前のステップでのステップ幅の調節は行わず Mode = 1 と同じステップを踏む. 注 - 本プログラムでは Mode = 3 で y' の値(補間値 Yp())を返さない. y だけでなく y' の値も必要な場合には Mode = 2 を使用すること. [in,out] Info [in] 制御コード. = 0: 最初の呼び出し時(新たに問題を開始する場合)には Info = 0 と設定する. 全ての変数の初期化を行ってから計算を開始する. = 1, 2, 3: Info = 1, 2 または 3 で戻った場合, 計算を継続するために Tout だけを変更し, Info の値をそのままにして再呼び出しすることができる. [out] リターンコード. = 0: 正常終了. Tend までの積分が完了した. < 0: (-Info)番目の入力パラメータの誤り. = 1: Mode = 1 の中間結果出力のために戻った. 再呼び出しすることより次のステップまで進むことができる. = 2: Mode = 2 の中間結果出力のために T = Tout において戻った. Tout を再設定して再呼び出しすることができる. = 3: Mode = 3 の中間結果出力のために T = Tout において戻った. Tout を再設定して再呼び出しすることができる. = 11: (エラー) 最大ステップ数を超えた. = 12: (エラー) ステップ幅が小さくなりすぎたため計算が継続できない. [out] TT IRev = 1: YYpp() 参照. [out] YY() 配列 YY(LYY - 1) (LYY >= N) IRev = 1: YYpp() 参照. [in] YYpp() 配列 YYpp(LYYpp - 1) (LYYpp >= N) IRev = 1: T = TT および Y = YY() における2次微分値 d2y/dt2 = f2(t, y) を計算し, 再呼び出し時に YYpp() に設定しておくこと. [in,out] IRev リバースコミュニケーションの制御変数. [in] 最初の呼び出し時に 0 に設定しておくこと. 2回目以降の呼び出し時には値を変更してはならない. [out] 0 以外の場合, 下記処理を行い IRev を変更せずに再び本プログラムを呼び出すこと. = 0: 処理終了. 正常終了かどうかは Info をチェックすること. = 1: T = TT および Y = YY() における2次微分の計算値を YYpp() に設定する. YYpp() 以外の変数を変更してはならない. [out] Neval (省略可) 関数評価回数. [out] Nstep (省略可) 全ステップ数. [out] Naccept (省略可) 採用されたステップ数. [out] Nreject (省略可) 不採用だったステップ数. [in] Maxiter (省略可) 許される最大ステップ数. (デフォルト値 = 100000) [in] ErrCntl (省略可) 誤差評価の方法を指定する. (デフォルト値 = 0) = 0: y および y' の両方の推定誤差を使用してステップの採用を判定する. = 1: y の推定誤差のみを使用してステップの採用を判定する. [in] Cnt (省略可) カウンタ (Neval, Nstep, Naccept および Nreject) のリセット方法を指定する. (デフォルト値 = 0) = 0: Info = 0 のときにリセットする. = 1: Info = 0 であってもリセットしない. [in] Hinit (省略可) ステップ幅の初期値. (デフォルト値 = プログラムが自動推定する) [in] Hmax (省略可) ステップ幅の最大値. (デフォルト値 = Abs(Tend - T)) (Hmax = 0 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Fac1,Fac2 (省略可) ステップ幅選択パラメータ. (デフォルト値: Fac1 = 0.2, Fac2 = 10) Fac1 <= Hnew/Hold <= Fac2 となるようにステップ幅が選ばれる. [in] Safe (省略可) ステップ幅推定時の安全係数. (0.0001 < Safe < 1) (デフォルト値 = 0.9) 参考文献 (1) J. R. Dormand, M. E. A. El-Mikkawy, P. J. Prince, "High Order Embedded Runge-Kutta-Nystrom Formulae", IMA J. of Numerical Analysis, 7, 423-430 (1987). (2) Ch. Tsitouras, G. Papageorgiou "Interpolating Runge-Kutta-Nystrom Methods of High Order", Intern. J. Computer Math., Vol. 41, 209-217 (1993). 使用例 次の2階常微分方程式の初期値問題を解く. y1'' = -y1/R y2'' = -y2/R ただし, R = (y1^2 + y2^2)^(3/2)/(π/4)^2 (t = 0 において y1 = 0.75, y2 = 0, y1' = 0, y2' = (π/4)√(1.25/0.75)) Sub F2(N As Long, T As Double, Y() As Double, Yp2() As Double) Dim R As Double R = (Y(0) ^ 2 + Y(1) ^ 2) ^ (3 / 2) / Atn(1) ^ 2 Yp2(0) = -Y(0) / R Yp2(1) = -Y(1) / R End Sub Sub Ex_Dopn86_r() Const N = 2 Dim T As Double, Y(N - 1) As Double, Yp(N - 1) As Double, Tend As Double, Tout As Double Dim RTol(0) As Double, ATol(0) As Double, Mode As Long, Neval As Long, Info As Long Dim TT As Double, YY(N - 1) As Double, YYpp(N - 1) As Double, IRev As Long RTol(0) = 0.0000000001 '1.0e-10 ATol(0) = RTol(0) Mode = 2 T = 0: Y(0) = 0.75: Y(1) = 0: Yp(0) = 0: Yp(1) = Atn(1) * Sqr(1.25 / 0.75) Tend = 12 Info = 0 Do Tout = T + 1 IRev = 0 Do Call Dopn86_r(N, T, Y(), Yp(), Tout, Tend, RTol(), ATol(), Mode, Info, TT, YY(), YYpp(), IRev, Neval) If IRev = 1 Then Call F2(N, TT, YY(), YYpp()) Loop While IRev <> 0 Debug.Print T, Y(0), Y(1) Loop While Info >= 1 And Info <= 3 Debug.Print Neval, Info End Sub 注 - 同じプログラムで Mode を 2 の代わりに 3 に変えれば密出力(補間)を使用する. 実行結果 1 0.294417538897896 0.812178519819116 2 -0.490299790384155 0.939874998440987 3 -1.05403151439005 0.57570608221171 4 -1.24999999949284 4.43173611507476E-09 5 -1.05403151546368 -0.57570607453233 6 -0.490299789381966 -0.939874992716228 7 0.294417544255 -0.812178511126571 8 0.74999999972237 1.56983329918214E-08 9 0.294417533018338 0.812178529211862 10 -0.490299791335412 0.939875006183219 11 -1.05403151373083 0.575706094313534 12 -1.25000000207949 1.96437796056619E-08 713 0