_deabm _deabm_r _derkf _derkf_int _derkf_r _dop853 _dop853_r _dopri5 _dopri5_r _doprin _doprin_r _dverk _dverk_int _dverk_r _odex _odex2 _odex2_r _odex_r _retard _retard_r

_odex() void _odex ( int  n, void(*)(int, double, double *, double *)  f, double *  t, double  y[], double  tout, double *  rtol, double *  atol, int  itol, void(*)(int, double, double, double *, int, double *, int *, int *)  solout, int  iout, double  work[], int  lwork, int  iwork[], int  liwork, double  rcont[], int  lrcont, int  icont[], int  licont, int *  info  ) 常微分方程式の初期値問題 (補外法 (GBSアルゴリズム)) 目的 本ルーチンは1階の常微分方程式の初期値問題 dy/dt = f(t, y), ただし t = t0 において y = y0 の解を求める. ただし, t0およびy0は既知でそれぞれtおよびyの初期値である. 上の方程式が連立微分方程式であれば, yはベクトルで表される. odexは陽的中点則にもとづく補外法(GBSアルゴリズム)のプログラムである. ステップ制御, 次数選択および密出力機能を持っている. 詳細については下記参考文献を参照せよ. 引数 [in] n 微分方程式の数. (n >= 1) [in] f 微分方程式の値を求めるユーザー定義サブルーチンで, 次のように定義すること. void f(int n, double t, const double y[], double yp[]) { yp[i] = tおよびy[]における微分係数の計算値 (i = 0 〜 n-1) } ただし, nは方程式の数, yp[]は与えられたtおよびy[]における微分係数, すなわち, yp[i] = dyi/dt = fi(t, y[0], ..., y[n-1]) (i = 0 〜 n-1). [in,out] t 本ルーチンはtからtoutまでの積分を行う. 積分を開始する点を与え, 最終ステップの最後の点が返される. [in] 独立変数 t の初期値. [out] ステップ終了時の最終値(通常toutに等しい). 解がこの点まで正常に求められたことを示す. 新たなtoutで再呼び出しすることにより, 新たな点まで積分を継続することができる. [in,out] y[] 配列 y[ly] (ly >= n) [in] tの初期値における従属変数y[]の初期値. [out] 最終のt(通常toutに等しい)において求められた解(の近似値). [in] tout 解を求めたい点を設定する. 積分を行うのはtについて前進方向(tout > t)でも後退方向(tout < t)でもよい. 要求精度を満たすように自動的に選ばれたステップ幅を用いてtからtoutに向かって解が求められる. [in] rtol スカラー(itol = 0 の場合) または 配列 rtol[lrtol] (itol = 1 の場合) (lrtol >= n) (rtolまたはrtol[i] >= 0) 相対誤差許容値. y[i]の局所誤差がおおむね次式以下になるようにする. rtol*abs(y[i]) + atol (i = 0〜n-1) (itol = 0 の場合) または rtol[i]*abs(y[i]) + atol[i] (i = 0〜n-1) (itol = 1 の場合). rtolとatol, または, rtol[i]とatol[i] (i = 0〜n-1) が同時に0になってはいけない. [in] atol スカラー(itol = 0 の場合) または 配列 atol[latol] (itol = 1 の場合) (latol >= n) (atolまたはatol[i] >= 0) 絶対誤差許容値. y[i]の局所誤差がおおむね次式以下になるようにする. rtol*abs(y[i]) + atol (i = 0〜n-1) (itol = 0 の場合) または rtol[i]*abs(y[i]) + atol[i] (i = 0〜n-1) (itol = 1 の場合). rtolとatol, または, rtol[i]とatol[i] (i = 0〜n-1) が同時に0になってはいけない. [in] itol rtolおよびatolがスカラーか配列かを指定する. = 0: rtol および atolはスカラー. = 1: rtol および atolは配列. (他の値であれば itol = 0 とみなす.) [in] solout 中間結果を出力するユーザー定義サブルーチンで, ステップが成功するごとに呼び出される. 次のように定義すること. void solout(int nr, double told, double t, double y[], int n, double rcont[], int icont[], int *irtrn) { nr番目のステップtでのy[]の値が渡されるのでこれを出力する. toldは前回のtの値, nは方程式の次数である. irtrnの入力値は, 初回, 中間, または, 最終呼び出しのとき, それぞれ 0, 1 または 2である. irtrnを使用して積分を中断することもできる. soloutでirtrnを負の値に設定すると積分を中断して info = 2 で終了する. iout = 2 の場合には, 制御情報 rcont[] および icont[] により密出力を行うことができる. 区間[told, t]内の任意の点t2での解y[i] (0 <= i <= n-1)を次の関数呼び出しにより求めることができる. y[i] = contx1(i, t2, rcont, icont); } [in] iout soloutの呼び出し指定. = 0: soloutの呼び出しを行わない = 1: soloutの呼び出しを行う = 2: 密出力のためにsoloutの呼び出しを行う. この場合, iwork[7]に密出力を行う要素数(nrdens)を設定しなければならない. (他の値であれば iout = 0 とみなす.) [in,out] work[] 配列 work[lwork] 作業領域. work[0]〜work[19]はプログラムのためのパラメータ領域として使用される. 入力パラメータを0に設定すると, パラメータ値としてはそれぞれのデフォルト値を使用する. [in] work[0]: ステップ幅の初期値. = 1/(f'のノルム) であり, 通常0.1〜0.001が適切. この値の選択はシビアではない. (デフォルト値 = 0.0001) work[1]: ステップ幅の最大値 (デフォルト値 = tout - t) work[3] および work[4]: ステップ幅選択パラメータ. j番目の対角エントリーについての新しいステップ幅は次式の範囲で選ばれる. facmin/work[4] <= j番目のhnew/hold <= 1/facmin ただし, facmin = work[3]^(1/(2*j - 1)) (デフォルト値: work[3] = 0.02, work[4] = 4) work[5], work[6]: 次数選択パラメータ. w[k - 2] <= w[k - 1]*work[5] : 次数を減らす w[k - 1] <= w[k - 2]*work[6] : 次数を増やす (デフォルト値: work[5] = 0.8, work[6] = 0.9) work[7], work[8]: ステップ幅制御の安全係数. hnew = h*work[8]*(work[7]*tol/err)^(1/(j - 1)) (デフォルト値: work[7] = 0.65, work[8] = 0.94) work[9]: 安定性のチェック結果がNGの場合にステップ幅を減らすが, そのときに使う係数 (デフォルト値 = 0.5) [out] work[0]: 最後に採用されたステップのステップ幅 [in] lwork 配列 work[]のサイズ. (lwork >= n*(km + 7) + 5*km + 2*km*(km + 1)*nrdens + 20 (km: iwork[2]を参照, nrdens: iwork[7]を参照)) lwork < 0 であれば abs(lwork) を使用し, work[0]〜work[19]を 0 に初期化する. [in,out] iwork[] 配列 iwork[liwork] 作業領域. iwork[0]〜iwork[19]はプログラムのためのパラメータ領域として使用される. 入力パラメータを0に設定すると, パラメータ値としてはそれぞれのデフォルト値を使用する. [in] iwork[1]: 許される最大ステップ数 (デフォルト値 = 10000) (iwork[1] < 0 の場合, デフォルト値を使用する) iwork[2]: km = 補外表の最大列数 (iwork[2] >= 3) (デフォルト値 = 9) (iwork[2] < 3 の場合, デフォルト値を使用する) iwork[3]: ステップ数列の選択 (iout = 2 の場合 iwork[3] >= 4) (iwork[3]の値が範囲外の場合, デフォルト値を使用する) = 1: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... = 2: 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... = 3: 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, ... = 4: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, ... = 5: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ... (デフォルト値 = 1 (iout = 0 または 1), 4 (iout = 2)) iwork[4]: 補外表の1行につき最大でiwork[4]回の安定性のチェックを行う. (デフォルト値 = 1) iwork[5]: 補外表の安定性のチェックを行1〜行iwork[5]についてのみ行う. (デフォルト値 = 2) iwork[6]: 補外式の次数を定める. mu = 2*kappa - iwork[6] + 1 (1 <= iwork[6] <= 6) (デフォルト値 = 4) (iwork[6]の値が範囲外の場合, デフォルト値を使用する) iwork[7]: nrdens = 密出力を行う要素数. iwork[7] < 0 であれば, nrdens = abs(iwork[7]) とする. (デフォルト値 = n) nrdensは iout = 2 の場合のみ有効である. その他の場合, nrdens = 0 とみなす. nrdens > n の場合, nrdens = n とみなす. 0 < nrdens < n の場合, icont[]を設定しなければならない(下記参照). iwork[8]: 密出力の式における誤差推定 = 0: 行う = 1: 行わない (デフォルト値 = 0) (iout = 2 の時に有効) iwork[12]: iwork[13]〜iwork[17]をリセットするタイミングを指定する. = 0: 本ルーチンが呼び出されるたびにリセットする. != 0: info = 0 のときにリセットする. [out] iwork[13]: nfcn = 関数評価回数 iwork[15]: nstep = ステップの計算回数 iwork[16]: naccept = 採用されたステップ数 iwork[17]: nreject = 不採用だったステップ数 (誤差評価の結果による) (最初のステップの不採用はカウントされない) [in] liwork 配列 iwork[]のサイズ. (liwork >= 2*km + 21 (km: iwork[2]を参照)) liwork < 0 であれば abs(liwork) を使用し, iwork[0]〜iwork[19]を 0 に初期化する. [out] rcont[] 配列 rcont[lrcont] 密出力の制御情報のための領域. iout = 2 の場合にのみ使用される. [in] lrcont 配列 rcont[]のサイズ. (lrcont >= (2*km + 5)*nrdens (km: iwork[2]を参照, nrdens: iwork[7]を参照)) [in,out] icont[] 配列 icont[licont] 密出力を行う要素番号のリスト. iout = 2 の場合にのみ使用される. nrdens = n または iwork[7] < 0 の場合, 自動的に 1, ..., nrdens と設定される. 0 < nrdens < n の場合, 密出力を行う要素番号を設定しておかなければならない. nrdensについてはiwork[7]を参照せよ. [in] licont 配列 icont[]のサイズ. (licont >= nrdens (nrdens: iwork[7]を参照)) [in,out] info [in] = 0: 初期化して計算を開始する(新たな問題を解く). = 1: toutだけを変えて計算を続ける(前回呼び出しの計算を再開する). [out] = -1: 入力パラメータ n の誤り (n < 1) = -6: 入力パラメータ rtol の誤り (rtol < 0 または rtol[i] < 0) = -6: 入力パラメータ rtol または atol の誤り (rtol = 0 かつ atol = 0, または rtol[i] = 0 かつ atol[i] = 0) = -7: 入力パラメータ atol の誤り (atol < 0 または atol[i] < 0) = -12: 入力パラメータ lwork の誤り (lworkが小さすぎる) = -14: 入力パラメータ liwork の誤り (liworkが小さすぎる) = -16: 入力パラメータ lrcont の誤り (lrcontが小さすぎる) = -18: 入力パラメータ licont の誤り (licontが小さすぎる) = -19: 入力パラメータ info の誤り (info != 0 かつ info != 1) = 1: 正常終了 = 2: soloutによる中断 (正常終了) = 11: 最大ステップ数を超えた 出典 E. Hairer, S.P. Norsett and G. Wanner, "Solving Ordinary Differential Equations. Nonstiff Problems. 2nd edition", Springer Series in Computational Mathematics, Springer-Verlag (1993) 邦訳: 「常微分方程式の数値解法Ⅰ 基礎編」スプリンガージャパン (2007)