◆ dgelsy()

void dgelsy	(	int	m,
		int	n,
		int	nrhs,
		int	lda,
		double	a[],
		int	ldb,
		double	b[],
		int	jpvt[],
		double	rcond,
		int *	rank,
		double	work[],
		int	lwork,
		int *	info
	)

優決定または劣決定系連立一次方程式 Ax = b の解 (完全直交分解)

目的: dgelsyは線形最小二乗問題の最小ノルム解をAの完全直交分解を使って求める.
|| A * X - B || を最小化する.

Aはm×n行列で, ランク落ちしていてもよい.

いくつかの右辺ベクトル b および解ベクトル x を1回の呼び出しで扱うことができる. これらのベクトルは, m×nrhs右辺行列Bおよびn×nrhs解行列Xの列として格納される.

まず最初に列のピボット選択付きQR分解を求める.
A * P = Q * [ R11 R12 ]

[ 0 R22 ]

R11は最大の主小行列を示し, その推定条件数は1/rcondより小さい. R11の次数(rank)はAの有効ランク数である.
そして, R22は無視してよいと考えられ, R12は右からの直交変換により消え, 次の完全直交分解になる.
A * P = Q * [ T11 0 ] * Z

[ 0 0 ]

これより, 最小ノルム解は次のように求められる.
X = P * Z^T [ T11^(-1)*Q1^T*B ]

[ 0 ]

ここで, Q1はQのはじめのrank列よりなる.

引数

[in]	m	行列 A の行数. (m >= 0) (m = 0 の場合, rank = 0 として戻る)
[in]	n	行列 A の列数. (n >= 0) (n = 0 の場合, rank = 0 として戻る)
[in]	nrhs	右辺の数, すなわち, 行列BおよびXの列数. (nrhs >= 0) (nrhs = 0 の場合, rank = 0 として戻る)
[in]	lda	二次元配列a[][]の整合寸法. (lda >= max(1, m))
[in,out]	a[][]	配列 a[la][lda] (la >= n) [in] m×n行列 A. [out] a[][]は完全直交分解により上書きされる.
[in]	ldb	二次元配列b[][]の整合寸法. (ldb >= max(1, m, n))
[in,out]	b[][]	配列 b[lb][ldb] (lb >= nrhs) [in] m×nrhs右辺行列 B. [out] n×nrhs解行列 X.
[in,out]	jpvt[]	配列 jpvt[ljpvt] (ljpvt >= n) [in] jpvt[i-1] != 0のとき, Aのi列をAPの前の方に持ってくる. 0のとき, i列はフリーな列である. [out] jpvt[i-1] = kであれば, APのi列はAのk列だったことを示す.
[in]	rcond	rcondはAの有効ランク数を決めるために使われる. 有効ランク数は, Aのピボット選択付きQR分解の最大の主小行列R11の次数である. R11の推定条件数 < 1/rcond である.
[out]	rank	Aの有効ランク数, すなわち, 部分行列R11の次数. これはAの完全直交分解における部分行列T11の次数に等しい.
[out]	work[]	配列 work[lwork] 作業領域 info = 0の場合, work[0] にlworkの最適値を返す.
[in]	lwork	配列 work[]のサイズ. ブロックアルゴリズムを使用しない場合, lwork >= max(1, mn+3n+1, 2mn+nrhs). ただし, mn = min(m, n). ブロックアルゴリズムを使用する場合, lwork >= max(1, mn+2n+nb(n+1), 2mn+nbnrhs). ただし, nbはブロックサイズの上限値. lwork = -1 の場合, 作業領域サイズの問い合わせとみなし, 最適サイズを求める計算だけを行い, work[0]にその値を返す.
[out]	info	= 0: 正常終了 = -1: 入力パラメータ m の誤り (m < 0) = -2: 入力パラメータ n の誤り (n < 0) = -3: 入力パラメータ nrhs の誤り (nrhs < 0) = -4: 入力パラメータ lda の誤り (lda < max(1, m)) = -6: 入力パラメータ ldb の誤り (ldb < max(1, m, n)) = -12: 入力パラメータ lwork の誤り (lworkが小さすぎる)

出典: LAPACK