Covar Lmder Lmder1 Lmder1_r Lmder_r Lmdif Lmdif1 Lmdif1_r Lmdif_r Lmstr Lmstr1 Lmstr1_r Lmstr_r N2f N2f1 N2f1_r N2f_r N2g N2g1 N2g1_r N2g_r N2p N2p_r

N2g() Sub N2g ( M As  Long, N As  Long, X() As  Double, F As  LongPtr, Fj As  LongPtr, Cov() As  Double, Rd() As  Double, Info As  Long, Optional Itsum As  LongPtr = NullPtr, Optional Info2 As  Long, Optional NFcall As  Long, Optional NFjcall As  Long, Optional Niter As  Long, Optional S As  Double, Optional NFcov As  Long, Optional NFjcov As  Long, Optional Rtol As  Double = -1, Optional Atol As  Double = -1, Optional Rdreq As  Long = -1, Optional Covreq As  Long = -1, Optional MaxFcall As  Long = -1, Optional MaxIter As  Long = -1, Optional Dtype As  Long = -1, Optional Dfac As  Double = -1, Optional Dtol As  Double = -1, Optional D0 As  Double = -1, Optional Tuner1 As  Double = -1, Optional Xctol As  Double = -1, Optional Xftol As  Double = -1, Optional Lmax0 As  Double = -1, Optional Lmaxs As  Double = -1, Optional Sctol As  Double = -1, Optional Delta0 As  Double = -1, Optional Dltfdc As  Double = -1  ) 非線形最小二乗法 (適応アルゴリズム) 目的 本ルーチンは, ガウス・ニュートン法, レーベンバーグ・マルカート法などを組み合わせ拡張した適応アルゴリズムにより, M個のN変数非線形関数の二乗和の最小点を求める. min Σfi(x1, x2, ..., xn)^2 (ただし, Σは i = 1 〜 M) 関数値およびヤコビ行列を計算するユーザールーチンが必要である. 引数 [in] M データ数. (M > 0) [in] N パラメータ数. (0 < N <= M) [in,out] X() 配列 X(LX - 1) (LX >= N) [in] 初期近似解. [out] 求められた解ベクトル. [in] F 関数 fi(x1, x2, ..., xn) を求めるユーザー定義サブルーチンで, 次のように定義すること. Sub F(M As Long, N As Long, X() As Double, Nf As Long, Fvec() As Double) 与えられたX()から関数値Fiを求め Fvec(i-1)に設定する(i = 1〜M). Nfは呼び出しカウンタである. 与えられたX()が計算可能範囲外の場合, Nf = 0 に設定して戻ること. それ以外の変数を変更してはならない. X()が同じ場合, FとFjに渡されるNfは同じ値を持つ. End Sub [in] Fj 関数 fi(x1, x2, ..., xn) のヤコビ行列を求めるユーザー定義サブルーチンで, 次のように定義すること. Sub Fj(M As Long, N As Long, X() As Double, Nf As Long, Fjac() As Double) 与えられたX()からヤコビ行列(∂Fi/∂Xj)を求めFjac(i-1,j-1)に設定する(i = 1〜M, j = 1〜N). Nfは呼び出しカウンタである. 与えられたX()が計算可能範囲外の場合, Nf = 0 に設定して戻ること. それ以外の変数を変更してはならない. X()が同じ場合, FとFjに渡されるNfは同じ値を持つ. End Sub [out] Cov() 配列 Cov(LCov - 1) (LCov >= N(N + 1)/2) 分散・共分散行列. (下三角部分を列優先の圧縮形式で格納) (Rdreq = 1 または 3で, 正常終了時のみ計算される) [out] Rd() 配列 Rd(LRd - 1) (LRd >= M) 回帰診断ベクトル. (Rd(i)はi番目のデータを削除したときの残差二乗和への影響の程度を表す) (Rdreq = 2 または 3で, 正常終了時のみ計算される) [out] Info = 0: 正常終了. (サブコードをInfo2に返す) = -1: パラメータ M の誤り. (M < N) = -2: パラメータ N の誤り. (N < 1) = -3: パラメータ X() の誤り. = -6: パラメータ Cov() の誤り. = -7: パラメータ Rd() の誤り. = 7: 特異収束. (近傍のヘッセ行列が特異になった) = 8: 誤収束. (誤った点での収束と思われる. 目標精度が小さすぎる可能性がある) = 9: 関数評価回数の最大値を超えた. = 10: 反復回数の最大値を超えた. = 63: X()の初期点においてF(X)を求めることができない. = 65: X()において微分係数を求めることができない. [in] Itsum (省略可) 計算の途中経過を出力するためのユーザー定義サブルーチンで, 次のように定義すること. (省略時 = NullPtr) アドレスを与えると(NullPtr以外であれば)反復ごとにサブルーチンが呼び出される. Sub Itsum(N As Long, X() As Double, NIter As Long, Nf As Long, Nfj As Long, S As Double) 以下の情報が渡されるのでこれを任意の形式で出力する. N: 変数の数. X(): 解ベクトルの現在の推定値. NIter: 何回目の反復かを示す. Nf: Fの呼び出し回数. Nfj: Fjの呼び出し回数. S: X()における残差二乗和. End Sub 引数の値を変更してはならない. [out] Info2 (省略可) Info = 0 のときのサブコード. = 1: X値の収束条件を満たした. = 2: 関数値相対収束条件を満たした. = 3: X値および関数値相対収束条件の両方を満たした. = 4: 関数値絶対収束条件を満たした. [out] NFcall (省略可) 関数Fの呼び出し回数. (共分散行列計算のための呼び出しを含む) [out] NFjcall (省略可) 関数Fjの呼び出し回数. (共分散行列計算のための呼び出しを含む) [out] Niter (省略可) 反復回数. [out] S (省略可) 求められた解ベクトルX()における残差二乗和. [out] NFcov (省略可) 共分散行列計算のための関数Fの呼び出し回数. [out] NFjcov (省略可) 共分散行列計算のための関数Fjの呼び出し回数. [in] Rtol (省略可) 関数値の目標相対精度. (Eps <= Rtol <= 0.1) (省略時 = 1e-10) (以下, Epsはマシンイプシロンを表す) (Rtol < Eps または Rtol > 0.1 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Atol (省略可) 関数値の目標絶対精度. (省略時 = 1e-20) (Atol < 0 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Rdreq (省略可) 共分散行列と回帰診断ベクトルの計算の指定. (省略時 = 3) = 0: 計算しない. = 1: 共分散行列のみ計算. = 2: 回帰診断ベクトルのみ計算. = 3: 共分散行列と回帰診断ベクトルを計算. (それ以外の値であれば省略時の既定値とみなす) [in] Covreq (省略可) 共分散行列の計算方法. (省略時 = 1) = 1, -1: σ * H^(-1) * (J^T * J) * H^(-1) = 2, -2: σ * H^(-1) = 3, -3: σ * (J^T * J) ただし, σ = S / max(1, M-N) (Sは残差二乗和), H はヘッセ行列, J はヤコビ行列である. 符号は計算に使用するユーザー定義サブルーチンを示す. < 0: F のみを使って計算する. > 0: F および Fjを使って計算する(Fjが使えなければ F のみを使う). (それ以外の値であれば省略時の既定値とみなす) [in] MaxFcall (省略可) 関数Fの呼び出し回数の最大値. (省略時 = 200) (MaxFcall <= 0 であれば省略時の既定値とみなす) [in] MaxIter (省略可) 反復回数の最大値. (省略時 = 150) (MaxIter <= 0 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Dtype (省略可) 自動スケーリングの設定. (Dtype = 0, 1 または 2) (省略時 = 1) = 0: 自動スケーリングを行わない. (スケール係数 = 1) = 1: 反復ごとに自動スケーリングを行う. = 2: 1回目の反復のみ自動スケーリングを行い, その後スケール係数を変更しない. (上記以外の値であれば省略時の既定値とみなす) [in] Dfac (省略可) 自動スケーリングの係数. (0 <= Dfac <= 1) (省略時 = 0.6) 自動スケーリングではD(i)をスケール係数として, すべてのiについてD(i)*X(i)が同程度の大きさになるように反復ごとにD(i)を調整する. まず, D1(i) = max(||Ji||, Dfac*D(i))とする(||Ji||はヤコビ行列行列のi列の2-ノルム). 次に, 以下のようにD(i)を調整する.   D1(i) >= Dtolの場合: D(i) = D1(i)   D1(i) < Dtolの場合: D(i) = D0 (Dfac < 0 または Dfac > 1 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Dtol (省略可) 自動スケーリングのしきい値. (Dtol > 0) (省略時 = 1.0e-6) (Dtol <= 0 であれば省略時の既定値とみなす) [in] D0 (省略可) 自動スケーリングの初期値. (D0 > 0) (省略時 = 1) (D0 <= 0 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Tuner1 (省略可) 誤収束の判定パラメータ. (0 <= Tuner1 <= 0.5) (省略時 = 0.1) (Tuner1 < 0 または Tuner1 > 0.5 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Xctol (省略可) X値の収束判定しきい値. (0 <= Xctol <= 1) (省略時 = Eps^(1/2)) (Xctol < 0 または Xctol > 1 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Xftol (省略可) 誤収束の判定しきい値. (0 <= Xftol <= 1) (省略時 = 100*Eps) (Xftol < 0 または Xftol > 1 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Lmax0 (省略可) スケーリングされた一番始めのステップ長の最大幅. (Lmax0 > 0) (省略時 = 1) (Lmax0 <= 0 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Lmaxs (省略可) [in] Sctol (省略可) LmaxsおよびSctolは特異収束の判定パラメータである. (Lmaxs > 0) (0 <= Sctol <= 1) (省略時: Lmaxs = 1, Sctol = 1e-10) ステップ長 Lmaxs における関数値の減少の推定値が Sctol*abs(f) より小さければ Info = 7 で戻る (fは現在の反復の出発点における関数値). (Lmaxs <= 0 であれば省略時の既定値とみなす) (Sctol < 0 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Delta0 (省略可) 共分散行列を計算する際の有限差分ステップサイズを次のようにする (Covreq = 1, 2 の場合). (Eps <= Delta0 <= 1) (省略時 = Sqrt(Eps))   Delta0*max(|X(I)|, 1/D(I))*sign(X(I)) (Delta0 < Eps または Delta0 > 1 であれば省略時の既定値とみなす) [in] Dltfdc (省略可) 共分散行列を計算する際の有限差分ステップサイズを次のようにする (Covreq = -1, -2の場合). (Eps <= Dltfdc <= 1) (省略時 = Eps^(1/3))   Dltfdc*max(|X(I)|, 1/D(I)) (Dltfdc < Eps または Dltfdc > 1 であれば省略時の既定値とみなす) 出典 netlib/port 使用例 次のデータをモデル関数 f(x) = c1*(1 - exp(-c2*x)) で近似する. 2つのパラメータc1, c2を非線形最小二乗法により定める. また, 分散共分散行列を求める. f(x) x 10.07 77.6 29.61 239.9 50.76 434.8 81.78 760.0 初期値は, c1 = 500, c2 = 0.0001 とする. Sub FN2g(M As Long, N As Long, X() As Double, Nf As Long, Fvec() As Double) Dim Xdata(3) As Double, Ydata(3) As Double, I As Long Ydata(0) = 10.07: Xdata(0) = 77.6 Ydata(1) = 29.61: Xdata(1) = 239.9 Ydata(2) = 50.76: Xdata(2) = 434.8 Ydata(3) = 81.78: Xdata(3) = 760 For I = 0 To M - 1 Fvec(I) = Ydata(I) - X(0) * (1 - Exp(-Xdata(I) * X(1))) Next End Sub Sub JN2g(M As Long, N As Long, X() As Double, Nf As Long, Fjac() As Double) Dim Xdata(3) As Double, Ydata(3) As Double, I As Long Ydata(0) = 10.07: Xdata(0) = 77.6 Ydata(1) = 29.61: Xdata(1) = 239.9 Ydata(2) = 50.76: Xdata(2) = 434.8 Ydata(3) = 81.78: Xdata(3) = 760 For I = 0 To M - 1 Fjac(I, 0) = Exp(-Xdata(I) * X(1)) - 1 Fjac(I, 1) = -Xdata(I) * X(0) * Exp(-X(1) * Xdata(I)) Next End Sub Sub Ex_N2g() Const M = 4, N = 2 Dim X(N - 1) As Double, Cov(N * (N + 1) / 2 - 1) As Double, Rd(M - 1) As Double Dim Info As Long X(0) = 500: X(1) = 0.0001 Call N2g(M, N, X(), AddressOf FN2g, AddressOf JN2g, Cov(), Rd(), Info) Debug.Print "C1, C2 =", X(0), X(1) Debug.Print "Cov =" Debug.Print Cov(0), Cov(1) Debug.Print Cov(1), Cov(2) Debug.Print "Info =", Info End Sub 実行結果 C1, C2 = 241.084896112856 5.44942234058364E-04 Cov = 20.9246334498711 -5.6146048950131E-05 -5.6146048950131E-05 1.51119765045832E-10 Info = 0