◆ dsptrf()

void dsptrf	(	char	uplo,
		int	n,
		double	ap[],
		int	ipiv[],
		int *	info
	)

係数行列のUDU^TまたはLDL^T分解 (対称行列) (圧縮形式)

目的: 本ルーチンはBunch-Kaufmanの対角ピボット法を用いて圧縮形式の対称行列Aの分解を計算する.
A = U*D*U^T or A = L*D*L^T

ここで, U(またはL)は置換行列と対角要素が1の上(または下)三角行列の積, そして, Dは1×1または2×2対角ブロックよりなる対称なブロック対角行列である.

引数

[in]	uplo	= 'U': Aの上三角部分を格納. = 'L': Aの下三角部分を格納.
[in]	n	行列Aの行および列数. (n >= 0) (n = 0 の場合, 処理を行わずに戻る)
[in,out]	ap[]	配列 ap[lap] (lap >= n(n + 1)/2) [in] 圧縮形式のn×n対称行列 A. uploに従い上三角部分または下三角部分を格納する. [out] UまたはLを得るために使われるブロック対角行列Dおよび乗数. 圧縮形式で三角行列として格納される (詳細は下記参照).
[out]	ipiv[]	配列 ipiv[lipiv] (lipiv >= n) 行および列の交換とDのブロック構造の情報. ipiv[k-1] > 0であれば, 第k行および列が第ipiv[k-1]行および列と交換され, Dの第k対角が1×1対角ブロックであることを表す. uplo = 'U'でipiv[k-1] = ipiv[k-2] < 0であれば, 第k-1行および列が第-ipiv[k-1]行および列と交換され, Dの第k-1対角が2×2対角ブロックであることを表す. uplo = 'L'でipiv[k-1] = ipiv[k] < 0であれば, 第k+1行および列が第-ipiv[k-1]行および列と交換され, Dの第k対角が2×2対角ブロックであることを表す.
[out]	info	= 0: 正常終了 = -1: 入力パラメータ uplo の誤り (uplo != 'U'および'L') = -2: 入力パラメータ n の誤り (n < 0) = i > 0: Dのi番目の対角要素が0である. 分解を完了したがブロック対角行列Dが特異であり, 連立方程式の解の計算に使用すると0による除算が発生する.

詳細: uplo = 'U'の場合, A = U*D*U^T である. ただし,
U = P(n)*U(n)* ... *P(k)U(k)* ...,

である. すなわち, Uは項P(k)*U(k)の積である. ここで, kは1あるいは2ごとにnから1までとする. Dはブロック対角行列で, 1×1あるいは2×2対角ブロックよりなる. P(k)はipiv[k-1]により定義される置換行列である. U(k)は対角要素が1の上三角行列であり, 対角ブロックD(k)の次数をs(s = 1あるいは2)とすると次のようになる.
( I v 0 ) k-s

U(k) = ( 0 I 0 ) s

( 0 0 I ) n-k

k-s s n-k

s = 1の場合, D(k)がA(k,k)を上書きし, vがA(1〜k-1,k)を上書きする.
s = 2の場合, D(k)の上三角部分がA(k-1,k-1), A(k-1,k)およびA(k,k)を上書きし, vがA(1〜k-2,k-1〜k)を上書きする.

uplo = 'L'の場合, A = L*D*L^T である. ただし,
L = P(1)*L(1)* ... *P(k)*L(k)* ...,

である. すなわち, Lは項P(k)*L(k)の積である. ここで, kは1あるいは2ごとに1からnまでとする. Dはブロック対角行列で, 1×1あるいは2×2対角ブロックよりなる. P(k)はipiv[k-1]により定義される置換行列である. L(k)は対角要素が1の下三角行列であり, 対角ブロックD(k)の次数をs(s = 1あるいは2)とすると次のようになる.
( I 0 0 ) k-1

L(k) = ( 0 I 0 ) s

( 0 v I ) n-k-s+1

k-1 s n-k-s+1

s = 1の場合, D(k)がA(k,k)を上書きし, vがA(k+1〜n,k)を上書きする.
s = 2の場合, D(k)の上三角部分がA(k,k), A(k+1,k)およびA(k+1,k+1)を上書きし, vがA(k+2〜n,k〜k+1)を上書きする.

注 - A(i,j)は, Aのi行j列の要素に対応するap[]の要素を示す.

出典: LAPACK