◆ Dehint()

半無限区間の積分 (自動積分) (二重指数関数(DE)公式)

目的: 本ルーチンは要求精度を満たす[a, +∞]におけるf(x)の積分値を求める. ここで, f(x)はユーザー定義サブルーチンfにより与えられる関数である.
積分値は二重指数関数(DE)公式を使用した自動積分により求められる.

二重指数関数(DE)公式(Definを参照)において以下の変換関数を使用することにより半無限区間[0, +∞]に対する公式を得る.
(1) φ(t) = exp(t/2 - exp(-t))

(2) φ(t) = exp(t - exp(-t))

(3) φ(t) = exp(2sinh(t))

(1)は f(x) = f1(x)exp(-x^2) のように急激に減衰する場合に適している. (2)は f(x) = f2(x)exp(-x) のように指数的に減衰する場合に適している. (3)はゆるやかに減衰する有理関数や代数関数に適している.
本ルーチンでは被積分関数の挙動を調べて自動的に変換関数を選択して使用する(引数Lにどれを使用したか返す).

引数

[in]	F	被積分関数f(x)を求めるユーザー定義サブルーチンで, 次のように定義すること. Function F(X As Double) As Double F = f(X) End Function Xを変更しないこと.
[in]	A	積分区間の下限 a.
[out]	Result	求められた積分値.
[out]	Info	= 0: 正常終了. = 1: 負側の減衰が遅いため収束判定条件を緩めた. = 2: 正側の減衰が遅いため収束判定条件を緩めた. = 3: 上の両方. = 4: 積分計算が収束しなかった. (Epsが小さすぎる, 区間内に特異点があるなどの原因による)
[out]	Neval	(省略可) 被積分関数の評価回数.
[out]	L	(省略可) 使用した変換関数. = 0: φ(t) = exp(t/2 - exp(-t)) = 1: φ(t) = exp(t - exp(-t)) = 2: φ(t) = exp(2sinh(t))
[in]	Eps	(省略可) 要求絶対誤差. (省略時 = 1.0e-14) (Eps <= 0 であれば省略時の既定値とみなす)

使用例: 次の定積分を求める.
∫ 1/(1 + x^2) dx [0, +∞] (= π/2)

Function F1(X As Double) As Double

F1 = 1 / (1 + X ^ 2)

End Function

Sub Ex_Dehint()

Dim A As Double, Result As Double, Info As Long

A = 0

Call Dehint(AddressOf F1, A, Result, Info)

Debug.Print "S =", Result, "S(true) =", Dconst(13) / 2

Debug.Print "Info =", Info

End Sub

Dconst
Function Dconst(I As Long, Optional Info As Long) As Double
基本定数

Dehint
Sub Dehint(F As LongPtr, A As Double, Result As Double, Info As Long, Optional Neval As Long, Optional L As Long, Optional Eps As Double=-1)
半無限区間の積分 (自動積分) (二重指数関数(DE)公式)