6. 補間
はじめに
区間 \([a, b]\) 内の \(n + 1\) 個の相異なる点 \(x_0, x_1, \dots, x_n\) における関数 \(f(x)\) の値 \(f(x_0), f(x_1), \dots, f(x_n)\) がデータとして与えられているとき, これらの点における値がデータに一致するような近似式を \(f(x)\) の補間式という. これら \(n + 1\) 個の点を標本点あるいは補間点という. ただし, \(a = min(x_0, x_1, \dots, x_n), b = max(x_0, x_1, \dots, x_n)\) である.
\(x\) が \([a, b]\) 内にあるときに「補間」(あるいは「内挿」), \(x\) が \([a, b]\) の外にあるときに「補外」(あるいは「外挿」) ということがある.
補間は, 計算が難しい (あるいは, 時間がかかる) 関数を計算しやすい補間式で代替する関数近似のような使い方の他に, 数値積分などにも応用される.
なお, 補間式は必ず標本点を通る (標本点ではそれに一致する) ため, 観測値など誤差を含んでいるものは補間のためのデータとしては適さない. そのような場合には, 補間ではなく最小二乗法を適用すべきである.
目次
6.1 多項式補間 (ラグランジュ補間, ニュートン補間)
6.2 エルミート補間
6.3 直交多項式補間
6.4 スプライン補間 (未完)
6.5 実用ルーチンのベンチマーク (未完)
本章の参考文献
[1] 森正武「数値解析 (第2版)」(2002) 共立出版[2] 杉原正顕, 室田一雄「数値計算法の数理」(1994) 岩波書店
[3] 二宮市三, 他「数値計算のつぼ」(2004) 共立出版
[4] 森正武「FORTRAN 77 数値計算プログラミン」(1986) 岩波書店
[5] “NIST Handbook of Mathematical Functions”, May 2010
