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◆ Zgesvx()
| Sub Zgesvx |
( |
Fact As |
String, |
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Trans As |
String, |
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N As |
Long, |
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A() As |
Complex, |
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Af() As |
Complex, |
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IPiv() As |
Long, |
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Equed As |
String, |
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R() As |
Double, |
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C() As |
Double, |
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B() As |
Complex, |
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X() As |
Complex, |
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RCond As |
Double, |
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FErr() As |
Double, |
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BErr() As |
Double, |
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Info As |
Long, |
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Optional Nrhs As |
Long = 1, |
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Optional RPiv As |
Double |
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) |
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(エキスパートドライバ) 連立一次方程式 AX = B の解 (複素行列)
- 目的
- 本ルーチンはLU分解を用いて複素連立一次方程式を解く.
A * X = B, A^T * X = B または A^H * X = B
解の誤差限界および推定条件数も求められる.
- 解説
- 以下の手順で計算が行われる.
- Fact = "E"の場合, 連立方程式を均衡化するためにスケーリング係数を計算する.
Trans = "N": diag(R)*A*diag(C)*inv(diag(C))*X = diag(R)*B
Trans = "T"または"C": (diag(R)*A*diag(C))^T *inv(diag(R))*X = diag(C)*B
- Fact = "N"または"E"の場合, (Fact = "E"の場合には均衡化の後で)LU分解を用いてAを次のように分解する. ここで, Pは置換行列, Lは対角成分が1の下三角行列, そして, Uは上三角行列である.
- Uの第i対角要素が0であればUは特異であり, Info = iで戻る. そうでなければ, 行列Aの分解形を用いて条件数を推定する. 条件数の逆数がマシンイプシロンより小さければ警告としてInfo = n+1を返すが, 引き続き下記のように解Xを求め誤差限界を計算する.
- Aの分解形を用いて連立方程式を解きXを求める.
- 計算された解行列に反復改良を適用して精度向上を図り, その誤差限界および後退誤差推定値を計算する.
- 均衡化が行われた場合, 均衡化前の元の連立方程式の解を求めるために, 行列Xに左からdiag(C) (Trans = "N"の場合) または diag(R) (Trans = "T"または"C"の場合)を乗ずる.
- 引数
-
| [in] | Fact | 行列Aの分解形を入力するかどうかを指定. 入力しない場合, 行列Aを分解前に均衡化するかどうかを指定する.
= "F": Af()とIPiv()にAの分解形を入力する. Equed <> "N"であれば, R()およびC()により与えられるスケーリング係数で行列Aが均衡化済であることを示す. A(), Af()およびIPiv()は変更されない.
= "N": 行列AをAf()にコピーしてから分解する.
= "E": 行列Aを必要に応じて均衡化し, 次にAf()にコピーしてから分解する. |
| [in] | Trans | 連立方程式の形を指定.
= "N": A * X = B. (転置なし)
= "T": A^T * X = B. (転置あり)
= "C": A^H * X = B. (共役転置あり) |
| [in] | N | 連立方程式の数, すなわち, 行列Aの行および列数. (N >= 0) (N = 0 の場合, 処理を行わずに戻る) |
| [in,out] | A() | 配列 A(LA1 - 1, LA2 - 1) (LA1 >= N, LA2 >= N)
[in] N×N行列 A. Fact = "F" かつ Equed <> "N"の場合, R()および／またはC()のスケーリング係数によりAが均衡化済でなければならない.
[out] Fact = "F"または"N"の場合, および, Fact = "E" かつ Equedの出力 = "N"の場合, Aは変更されない.
Fact = "E" かつ Equedの出力 <> "N"の場合, Aは次のように均衡化される.
Equed = "R": diag(R)*A,
Equed = "C": A*diag(C), または
Equed = "B": diag(R)*A*diag(C). |
| [in,out] | Af() | 配列 Af(LAf1 - 1, LAf2 - 1) (LAf1 >= N, LAf2 >= N)
[in] Fact = "F"の場合, Zgetrfにより計算された分解 A = P*L*U のLおよびU. Equed <> "N"の場合, Af()は均衡化後のAの分解であること.
[out] Fact = "N"の場合, 行列Aの分解 A = P*L*U のLおよびU.
Fact = "E"の場合, 均衡化後の行列Aの分解 A = P*L*U のLおよびU (均衡化の形式についてはA()の説明を参照のこと). |
| [in,out] | IPiv() | 配列 IPiv(LIPiv - 1) (LIPiv >= N)
[in] Fact = "F"の場合, Zgetrfにより計算された分解 A = P*L*U のピボットインデックス. 行列の第i行が第IPiv(i-1)行と交換されたことを表す.
[out] Fact = "N"の場合, 行列Aの分解 A = P*L*U のピボットインデックス.
Fact = "E"の場合, 均衡化後の行列Aの分解 A = P*L*U のピボットインデックス. |
| [in,out] | Equed | 均衡化の形式の指定.
= "N": 均衡化なし.
= "R": 行の均衡化. すなわち, diag(R)をAに左から掛ける.
= "C": 列の均衡化. すなわち, diag(C)をAに右から掛ける.
= "B": 行と列の均衡化. すなわち, A = diag(R)*A*diag(C) とする.
[in] Fact = "F"の場合, Af()に入力された行列の均衡化の形式を表す.
[out] Fact <> "F"の場合, 適用された均衡化の形式を返す ("N", "R", "C"または"B").
Fact = "N"であれば常に"N"を返す. |
| [in,out] | R() | 配列 R(LR - 1) (LR >= N)
Aの行の均衡化係数diag(R). Equed = "R"または"B"の場合, diag(R)をAに左から掛ける. Fact = "N"の場合, R()はアクセスされない.
[in] Fact = "F"の場合, Af()に入力された行列の行の均衡化係数. (各要素 > 0)
[out] Fact <> "F"の場合, 適用されたAの行の均衡化係数. |
| [in,out] | C() | 配列 C(LC - 1) (LC >= N)
Aの列の均衡化係数diag(C). Equed = "C"または"B"の場合, diag(C)をAに右から掛ける. Fact = "N"の場合, C()はアクセスされない.
[in] Fact = "F"の場合, Af()に入力された行列の列の均衡化係数. (各要素 > 0)
[out] Fact <> "F"の場合, 適用されたAの列の均衡化係数. |
| [in,out] | B() | 配列 B(LB1 - 1, LB2 - 1) (LB1 >= max(1, N), LB2 >= Nrhs) (2次元配列) または B(LB - 1) (LB >= max(1, N), Nrhs = 1) (1次元配列)
[in] N×Nrhs右辺行列 B.
[out] Equed = "N"の場合, B()は変更されない.
Trans = "N" かつ Equed = "R"または"B"の場合, B()はdiag(R)*Bで上書きされる.
Trans = "T"または"C" かつ Equed = "C"または"B"の場合, B()はdiag(C)*Bで上書きされる. |
| [out] | X() | 配列 X(LX1 - 1, LX2 - 1) (LX1 >= max(1, N), LX2 >= Nrhs) (2次元配列) または X(LX - 1) (LX >= max(1, N), Nrhs = 1) (1次元配列)
Info = 0 または Info = N+1 の場合, 元の連立方程式のN×Nrhs解行列 X.
Equed <> "N"の場合, AおよびBは変更される. また, 均衡化された連立方程式の解は,
Trans = "N" かつ Equed = "C"または"B"であれば inv(diag(C))*X である.
Trans = "T"または"C" かつ Equed = "R"または"B"であれば inv(diag(R))*X である. |
| [out] | RCond | (均衡化した場合には均衡化後の)行列Aの(1/条件数)の推定値. RCondがマシンイプシロンより小さければ(特に RCond = 0 であれば), 実用精度において行列は特異である. これは Info > 0 を返すことにより通知される. |
| [out] | FErr() | 配列 FErr(LFErr - 1) (LFErr >= Nrhs)
各解ベクトルX(j)(解行列Xの第j列)の前進誤差限界. X(j)に対応する真の解をXtrueとするとき, FErr(j-1)は, (X(j) - Xtrue)の要素の最大絶対値をX(j)の要素の最大絶対値で割った値の上限の推定値である. この推定値はRCondの推定値と同程度の信頼性があり, ほぼ常に真の誤差よりも大きめに推定される. |
| [out] | BErr() | 配列 BErr(LBErr - 1) (LBErr >= Nrhs)
各解ベクトルX(j)の要素に関する後退相対誤差. (すなわち, X(j)を真の解にするためのAまたはBの任意の要素の相対変化の最小値) |
| [out] | Info | = 0: 正常終了.
= -1: パラメータ Fact の誤り. (Fact <> "F", "N"および"E")
= -2: パラメータ Trans の誤り. (Trans <> "N", "T"および"C")
= -3: パラメータ N の誤り. (N < 0)
= -4: パラメータ A() の誤り.
= -5: パラメータ Af() の誤り.
= -6: パラメータ IPiv() の誤り.
= -7: パラメータ Equed の誤り. (Fact = "F" かつ Equed <> "N", "R", "C"および "B")
= -8: パラメータ R() の誤り. (R(i) <= 0 (Fact = "F" かつ Equed = "R"または"B"のときに))
= -9: パラメータ C() の誤り. (C(i) <= 0 (Fact = "F" かつ Equed = "C"または"B"のときに))
= -10: パラメータ B() の誤り.
= -11: パラメータ X() の誤り.
= -13: パラメータ FErr() の誤り.
= -14: パラメータ BErr() の誤り.
= -16: パラメータ Nrhs の誤り. (Nrhs < 0)
= i (0 < i <= N): Uのi番目の対角要素が0である. 分解は完了したが, Uが特異であり, 解と誤差限界は計算できなかった. RCond = 0 を返す.
= N+1: Uは非特異であるが, RCondがマシンイプシロンより小さく, これは実用精度において行列が特異であることを意味する. しかしながら, RCondの値が示すよりも計算値の精度が良いことがあるため, 解と誤差限界は計算される. |
| [in] | Nrhs | (省略可)
右辺の数, すなわち, 行列Bの列数. (Nrhs >= 0) (Nrhs = 0 の場合, 処理を行わずに戻る) (省略時 = 1) |
| [out] | RPiv | (省略可)
ピボット成長係数の逆数 norm(A)/norm(U). ノルムは"要素最大絶対値"が使われる. これが1よりもずっと小さい場合, (均衡化した)行列AのLU分解の安定性がよくない可能性がある. 解 X, 条件数の推定値 RCond, および, 前進誤差限界 FErr も信用できない可能性があることを意味する. 0 < Info <= N で分解が失敗した場合, ピボット成長係数の逆数はAの先頭Info列分のものである. |
- 出典
- LAPACK
- 使用例
- 連立一次方程式 Ax = B を解き, 同時にAの条件数の逆数の推定値(RCond)を求める. ただし,
( 0.2-0.11i -0.93-0.32i 0.81+0.37i )
A = ( -0.8-0.92i -0.29+0.86i 0.64+0.51i )
( 0.71+0.59i -0.15+0.19i 0.2+0.94i )
( -0.5853-0.9457i )
B = ( -2.1697-1.0006i )
( 0.0116-0.5094i )
Sub Ex_Zgesvx()
Const N = 3
Dim A(N - 1, N - 1) As Complex, Af(N - 1, N - 1) As Complex, IPiv(N - 1) As Long
Dim B(N - 1) As Complex, X(N - 1) As Complex
Dim R(N - 1) As Double, C(N - 1) As Double, Equed As String
Dim FErr(0) As Double, BErr(0) As Double
Dim RCond As Double, Info As Long
A(0, 0) = Cmplx(0.2, -0.11): A(0, 1) = Cmplx(-0.93, -0.32): A(0, 2) = Cmplx(0.81, 0.37)
A(1, 0) = Cmplx(-0.8, -0.92): A(1, 1) = Cmplx(-0.29, 0.86): A(1, 2) = Cmplx(0.64, 0.51)
A(2, 0) = Cmplx(0.71, 0.59): A(2, 1) = Cmplx(-0.15, 0.19): A(2, 2) = Cmplx(0.2, 0.94)
B(0) = Cmplx(-0.5853, -0.9457): B(1) = Cmplx(-2.1697, -1.0006): B(2) = Cmplx(0.0116, -0.5094)
Call Zgesvx("N", "N", N, A(), Af(), IPiv(), Equed, R(), C(), B(), X(), RCond, FErr(), BErr(), Info)
Debug.Print "X =", Creal(X(0)), Cimag(X(0)), Creal(X(1)), Cimag(X(1)), Creal(X(2)), Cimag(X(2))
Debug.Print "RCond =", RCond, "Equed = ", Equed
Debug.Print "Info =", Info
End Sub
- 実行結果
X = 0.79 -0.13 0.13 0.75 -0.91 0.3
RCond = 0.250214147937285 Equed = N
Info = 0
|
1.9.6