XLPack 解法編
6. 補間
はじめに 区間 \([a, b]\) 内の \(n + 1\) 個の相異なる点 \(x_0, x_1, \dots, x_n\) における関数 \(f(x)\) の値 \(f(x_0), f(x_1), \dots, f […]
6.1 多項式補間
補間式として多項式を使用するものを多項式補間という. ここでは, (誤差がなければ) 同じ結果を与えるが計算手順が異なるラグランジュ補間公式とニュートン補間公式も広い意味では多項式補間ととらえておくことにする. ラグラン […]
6.2 エルミート補間
ラグランジュ補間公式は標本点において関数値が一致する近似式を与えた. これに対して, エルミート補間はやはり多項式を使用するが標本点において関数値の他に微分値も一致する近似式を与える. 6.2.1 エルミート補間 区間 […]
6.3 直交多項式補間
直交多項式系を使用した直交多項式補間は数値積分などに応用される. 6.3.1 直交多項式系 区間 \([a, b]\) および密度 (重み) 関数 \(w(x)\) が与えられているとき, 次式を満たす多項式系 \({ […]
9. 数値積分
はじめに 有限区間あるいは無限区間における定積分の近似計算法を数値積分法 (numerical intergation) という. または 求積法 (quadrature) ということもある. 数値積分プログラムは大きく […]
9.1 補間型積分公式, ロンバーグ積分
9.1.1 補間型積分公式 積分区間 [a, b] を n 分割する分点列 \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\) において関数値 \(f(x_i)\) をとる補間多項式を定め, その積分 […]
9.2 変数変換型積分公式, 適応自動積分
9.2.1 台形則の誤差 台形則では分点数を倍 (刻み幅 h を 1/2) にすると誤差はおおよそ 1/4 になった. これは, 被積分関数が解析的な場合台形則の誤差が次のように表されることによる (オイラー・マクローリ […]
9.3 数値積分 (3) 実用プログラムのベンチマーク
9.3.1 実用プログラムの選択 XLPack に収録されている数値積分用のプログラムは, QUADPACK (文献[6]) のプログラムと二重指数関数 (DE) 公式のプログラムに分けられる. 前者は SLATEC に […]
10. 常微分方程式の初期値問題
はじめに 初期値問題 1 階の常微分方程式は次の形に書くことができる. \[ y’ = f(t, y(t)) \] ここで, \(y(t)\) は未知の関数である. 常微分方程式の初期値問題 (initial […]
10.1 常微分方程式の初期値問題の基本数値解法
10.1.1 数値解法の分類 変数 \(t\) を離散化して, \(t_0, t_1, \dots, t_n, \dots\) と表す. これらの点の間隔をステップ幅あるいはステップ幅 (step size) といい, […]
10.2 ステップ幅の自動調節, 密出力, 2階常微分方程式
10.2.1 誤差の推定 求めた数値解の誤差を推定する方法について説明する. 計算結果が得られればそれで終わりというのではなく, その結果の誤差が推定できていれば, 特異点などのために異常な解が得られていないかなどのチェ […]
10.3 スティフな方程式, 微分代数方程式
10.3.1 解法の安定性 初期値問題を解いている間に数値解が異常な値になったり発散したりすることがある. その原因は, 微分方程式自体の問題である場合と, 数値解法の問題である場合がある. 10.3.1.1 微分方程式 […]
10.4 常微分方程式の実用プログラムのベンチマーク
10.4.1 実用プログラムの選択 XLPack に収録されている常微分方程式用のプログラムはすべてステップ幅自動調節機能を持っている. 密出力の必要性などを参考に使用するプログラムを選択するとよい. なお, スティフな […]
