Dsbev Dsbevd Dsbevx Dspev Dspevd Dspevx Dstev Dstevd Dstevr Dstevx Dsyev Dsyevd Dsyevr Dsyevx

Dsyevr() Sub Dsyevr ( Jobz As  String, Range As  String, Uplo As  String, N As  Long, A() As  Double, Vl As  Double, Vu As  Double, Il As  Long, Iu As  Long, Abstol As  Double, M As  Long, W() As  Double, Z() As  Double, Isuppz() As  Long, Info As  Long  ) (MRRR法ドライバ) 固有値・固有ベクトル (対称行列) 目的 本ルーチンは実対称行列 A のすべての, あるいは, 選択された固有値, および, 必要により固有ベクトルを求める. 必要な固有値の範囲あるいは番号の範囲を指定することにより, 求める固有値・固有ベクトルを選択することができる. 本ルーチンはまず行列 A を3重対角形 T に変換する. 次に, すべての固有値および固有ベクトルを求める場合にはMRRR法(*)を使用する. また, すべての固有値のみを求める場合にはQL法またはQR法を使用する. 選択された固有値・固有ベクトルを求める場合には二分法および逆反復法を使用する. (*) MRRR法: 固有値は dqds アルゴリズムにより求められる. 固有ベクトルは適切なシフト付きLDL^T分解(RRR(Relatively Robust Representations)という)より求められる. 引数 [in] Jobz = "N": 固有値のみ求める. = "V": 固有値と固有ベクトルを求める. [in] Range = "A": すべての固有値を求める. = "V": 半開区間 (Vl, Vu] のすべての固有値を求める. = "I": Il番目からIu番目までの固有値を求める. Range = "V" または "I" かつ Iu - Il < N - 1 であれば Dstebz および Dstein を呼び出す. [in] Uplo = "U": A の上三角部分を格納する. = "L": A の下三角部分を格納する. [in] N 行列Aの行および列数. (N >= 0) (N = 0 の場合, 処理を行わずに戻る) [in,out] A() 配列 A(LA1 - 1, LA2 - 1) (LA1 >= N, LA2 >= N) [in] 対称行列 A. Uplo = "U" の場合, A() の N x N 上三角部分に行列 A の上三角部分を格納する. Uplo = "L" の場合, A() の N x N 下三角部分に行列 A の下三角部分を格納する. [out] A() の下三角部分(Uplo = "L"の場合)あるいは上三角部分(Uplo = "U"の場合)は対角部分を含め壊される. [in] Vl Range = "V": 固有値を求める区間の下端. (Vl < Vu) Range = "A" または "I": 参照されない. [in] Vu Range = "V": 固有値を求める区間の上端. (Vl < Vu) Range = "A" または "I": 参照されない. [in] Il Range = "I": 求める最小固有値の番号. (1 <= Il <= Iu <= N (N > 0 の場合), Il = 1, Iu = 0 (N = 0 の場合)) Range = "A" または "V": 参照されない. [in] Iu Range = "I": 求める最大固有値の番号. (1 <= Il <= Iu <= N (N > 0 の場合), Il = 1, Iu = 0 (N = 0 の場合)) Range = "A" または "V": 参照されない. [in] Abstol 固有値の絶対誤差限界. 固有値の近似値は区間[a, b]に入っているときに収束したものとみなされる. この区間の幅は Abstol + eps*max(|a|, |b|) に等しいかこれより小さい. ここで eps はマシンイプシロンである. Abstol <= 0 の場合, eps*|T| が代わりに使用される. ここで, |T| は行列 A を変換して得られた3重対角行列の1ノルムである. Demmel および Kahan, "Computing Small Singular Values of Bidiagonal Matrices with Guaranteed High Relative Accuracy", LAPACK Working Note #3. を参照せよ. 高い相対精度が重要な場合は, Abstol を Dlamch("S") に設定せよ. それにより, 将来のリリースで可能な場合, 固有値が高い相対精度で計算されることが保証される. 現在のコードは高い相対精度を保証するものではないが, 将来のリリースでは保証される. どの行列が固有値を高い相対精度で定義するかの議論については J. Barlow および J. Demmel, "Computing Accurate Eigensystems of Scaled Diagonally Dominant Matrices", LAPACK Working Note #7 を参照せよ. [out] M 求められた固有値の数 (0 <= M <= N) Range = "A" の場合 M = N, Range = "I" の場合 M = Iu - Il + 1 となる. [out] W() 配列 W(LW - 1) (LW >= N) M 個の求められた固有値が先頭から昇順に入る. [out] Z() 配列 A(LZ1 - 1, LZ2 - 1) (LZ1 >= N, LZ2 >= M) Jobz = "V": Info = 0 の場合, 求められた固有値に対応して Z() の最初の M 列に行列 A の正規直交固有ベクトルが入る. W(i) に関連する固有ベクトルが Z() の i 列に入る. Jobz = "N": Z() は参照されない. 注: 配列 Z() は少なくても max(1, M) 列を割り当てること. Range = "V" の場合, M の値をあらかじめ知ることはできないが上限値を使用すること. [out] Isuppz() 配列 Isuppz(LIsuppz - 1) (LIsuppz >= 2*max(1, M)) Z() の固有ベクトルの非ゼロ要素のインデックスを表す. i(= 1 〜 M)番目の固有ベクトルにおいては Isuppz(2*(i-1)) 〜 Isuppz(2*(i-1) + 1) 番目の要素のみが非ゼロである. これは Dstemr の出力である(三重対角行列). A の固有ベクトルに関しては Dormtr によって適用される直交変換のため通常 1 〜 N である. Range = "A" の場合, または, Range = "I" で Iu - Il = N - 1 の場合に有効である. [out] Info = 0: 正常終了. = -1: パラメータ Jobz の誤り. (Jobz <> "N" および "V") = -2: パラメータ Range の誤り. (Range <> "A", "V" および "I") = -3: パラメータ Uplo の誤り. (Uplo <> "U" および "L") = -4: パラメータ N の誤り. (N < 0) = -5: パラメータ A() の誤り. = -7: パラメータ Vu の誤り. (Vu < Vl) = -8: パラメータ Il の誤り. (Il < 1 または Il > N) = -9: パラメータ Iu の誤り. (Iu < min(N, Il) または Iu > N) = -12: パラメータ W() の誤り. = -13: パラメータ Z() の誤り. = -14: パラメータ Isuppz() の誤り. = > 0: 内部エラー. 出典 LAPACK 使用例 対称行列 A の固有値・固有ベクトルを求める. ただし, ( 2.20 -0.11 -0.32 ) A = ( -0.11 2.93 0.81 ) ( -0.32 0.81 2.37 ) とする. Sub Ex_Dsyevr() Const N = 3 Dim A(N - 1, N - 1) As Double, W(N - 1) As Double, Z(N - 1, N - 1) As Double Dim Vl As Double, Vu As Double, Il As Long, Iu As Long, Abstol As Double Dim M As Long, Isuppz(2 * N - 1) As Long, Info As Long A(0, 0) = 2.2 A(1, 0) = -0.11: A(1, 1) = 2.93 A(2, 0) = -0.32: A(2, 1) = 0.81: A(2, 2) = 2.37 Abstol = 0 Call Dsyevr("V", "A", "L", N, A(), Vl, Vu, Il, Iu, AbsTol, M, W(), Z(), Isuppz(), Info) Debug.Print "Eigenvalues =", W(0), W(1), W(2) Debug.Print "Eigenvectors =" Debug.Print Z(0, 0), Z(0, 1), Z(0, 2) Debug.Print Z(1, 0), Z(1, 1), Z(1, 2) Debug.Print Z(2, 0), Z(2, 1), Z(2, 2) Debug.Print "M =", M, "Info =", Info End Sub 実行結果 Eigenvalues = 1.70705954911046 2.22943643244226 3.56350401844728 Eigenvectors = -0.399322077213384 0.894521385341402 0.200931256445799 0.481026444340547 0.390994588677272 -0.78468897753835 -0.780484105216166 -0.216690384632059 -0.586421212707156 M = 3 Info = 0