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sos() void sos ( void(*)(int, double *, int, double *)  fnc, int  n, double  x[], double  rtolx, double  atolx, double  tolf, int  nprint, int  maxiter, int *  iter, double  work[], int  lwork, int  iwork[], int  liwork, int *  info  ) 連立非線形方程式 (ブラウンの方法) 目的 sosはn本のn変数非線形方程式よりなる連立方程式 fi(x1, x2, ..., xn) = 0 (i = 1 〜 n) の解をブラウンの方法により求める. アルゴリズムはニュートン法を変形した反復法に基づいており, ガウス−ザイデル法の手順に似たガウス消去法を用いる. 収束はおおむね二次収束である. 本ルーチンの収束特性は方程式の順番に影響を受ける. 線形および弱い非線形の方程式を先に並べるとよい. 関数値を計算するユーザールーチンが必要である. アルゴリズムで必要なすべての偏微分係数は差分商で近似される. 引数 [in] fnc 関数fi(x)の値を求めるユーザーサブルーチンで, 次のように定義すること. void fnc(int n, double x[], int k, double *fval) { k = 1〜n の場合: x[]におけるk番目の関数値fk(x)をfvalに設定する. k <= 0 の場合: 中間結果を出力する(nprint = 1 の場合にのみ呼び出される). -k回目の反復における近似解x[], 残差ノルムfvalが渡される. } x[]の値を変更してはならない. [in] n 未知数および方程式の数. (n > 0) [in,out] x[] 配列 x[lx] (lx >= n) [in] 初期近似解. [out] 求められた解ベクトル. [in] rtolx 収束判定に用いられる相対誤差許容値(rtolx >= 0). 次式により解の精度をチェックする.   abs(x[i] - xold[i]) <= rtolx*abs(x[i]) + atolx ここで, xold[i]は前回の反復時の値を表す. [in] atolx 収束判定に用いられる絶対誤差許容値(atolx >= 0). 解ベクトルの要素のいくつかが0の可能性があるならば, 計算効率をよくするためにatolxを適切な値(残りの要素のスケールに依存)に設定しなければならない. [in] tolf 残差の収束判定基準(tolf >= 0). 全ての式の残差(関数値)がこれより小さくなれば収束と見なす. この収束判定は方程式のスケーリングに依存するため, tolfに適切な値を与えるように細心の注意が必要である. 値が適切でない場合, 不十分な反復で終了してしまうことがある. [in] nprint = 0: 中間結果出力のためのfncの呼び出し(k <= 0)を行わない. = 1: 中間結果出力のために反復ごとにfncを(k <= 0として)呼び出す. (他の値であれば nprint = 0 とみなす.) [in] maxiter 最大反復回数. (maxiter >= 1) [out] iter 収束に要した反復回数. [out] work[] 配列 work[lwork] 作業領域. 終了時, 求められた最終近似解における残差ノルムがwork[0]に入る. [in] lwork 配列 work[]のサイズ. (lwork >= 1 + 7*n + n*(n + 1)/2) [out] iwork[] 配列 iwork[liwork] 作業領域. info = 0で戻った場合, iwork[0]にサブコードが入る. = 1: 解ベクトルの各要素x[i]が誤差許容値判定条件を満たした: abs(x[i] - xold[i]) <= rtolx*abs(x[i]) + atolx. = 2: すべての残差がtolf以下になった: abs(f(x,i)) <= tolf. = 3: 上の2つ共満たした. = 4: 収束と思われる(誤差許容値が小さすぎる, あるいは, 収束の遅い関数である). (残差ノルムが数回の連続した反復においてほぼ一定であった) [in] liwork 配列 iwork[]のサイズ. (liwork >= n) [out] info = 0: 正常終了 (iwork[0]にサブコードが入る) = -2: 入力パラメータ n の誤り (n < 1) = -4: 入力パラメータ rtolx の誤り (rtolx < 0) = -5: 入力パラメータ atolx の誤り (atolx < 0) = -6: 入力パラメータ tolf の誤り (tolf < 0) = -8: 入力パラメータ maxiter の誤り (maxiter <= 0) = -11: 入力パラメータ lwork の誤り (lwork < 1+7*n+n*(n+1)/2) = -13: 入力パラメータ liwork の誤り (liwork < n) = 1: 反復回数の上限に達した (収束が非常に遅い可能性がある。誤差許容値が適切であるか確認せよ) = 2: 反復回数の上限に達した (局所的な最小点にあるか計算精度不足の可能性がある) = 3: 反復が発散した (残差ノルムが数回の連続した反復において増加した) = 4: ヤコビ行列に関連する行列が特異になった 出典 SLATEC